Question

如圖所示，在x軸上方有一勻強電場，場強大小為E，方向豎直向下．在x軸下方有一勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直于紙面向里．在x軸上有一點p，離原點距離為a．現有一帶電量為+q，質量為m的粒子，不計重力，從0＜x＜a區間某點由靜止開始釋放后，能經過p點．試求：
（1）釋放瞬間粒子的加速度；
（2）釋放點的坐標x、y應滿足的關系式？

Answer 1

分析：（1）要使粒子從靜止開始能經過P點，其初始位置必須在勻強電場區域里，由電場加速獲得速度才能到達P點．釋放瞬間，粒子不計重力，只受到電場力作用，根據牛頓第二定律求解加速度；
（2）粒子先加速后磁場偏轉，由幾何知識得到磁場中圓周運動的半徑與OP距離間的關系：a=2nR （=n=1，2，3，…）．分別根據動能定理和牛頓第二定律求解電場加速粒子獲得的速度、磁場中軌跡半徑表達式，即可求出初始坐標滿足的條件；

解答：解：（1）要使粒子從靜止開始能經過P點，其初始位置必須在勻強電場區域里，根據牛頓第二定律得：
    釋放瞬間粒子的加速度為a=

qE

m

，方向沿y軸負方向．
（2）由于粒子從0＜x＜a區間某點由靜止開始釋放，軌跡如圖．
由于粒子可能偏轉一個、十個…半圓到達P點，由幾何知識得
    a-x=2nR（n=1，2，3，…）①
設釋放處距O的距離為y，則有
qEy=

1

2

mv2 ②
又 qvB=m

v2

R

  ③
聯立①②③得 y=

B2q(a-x)2

8n2mE

(n=1，2，3，…)
答：
（1）釋放瞬間粒子的加速度為

qE

m

，方向沿y軸負方向．
（2）釋放點的坐標x、y應滿足的關系式y=

B2q(a-x)2

8n2mE

(n=1，2，3，…)．

點評：本題是多解問題，在條件不明時，要分情況進行討論，不能漏解．分析時，要畫出粒子運動的軌跡，根據幾何關系得到粒子運動的半徑與OP距離的關系是本題解題的關鍵．