Question

如圖所示，一個矩形線圈的ab、cd邊長為L₁，ad、bc邊長為L₂，線圈的匝數為N，線圈處于磁感應強度為B的勻強磁場中， 并以OO^/為軸做勻速圓周運動，（OO^/與磁場方向垂直，線圈電阻不計），線圈轉動的角速度為ω，若線圈從中性面開始計時，請回答下列問題：

（1）請用法拉第電磁感應定律證明該線圈產生的是正弦交流電。

（2）用該線圈產生的交流電通入電阻為R的電動機時，形成的電流有效值為I，請計算該電動機的輸出的機械功率（其它損耗不計）。

（3）用此電動機將豎直固定的光滑U型金屬框架上的水平導體棒EF從靜止向上拉，已知導體棒的質量為m，U型金屬框架寬為L且足夠長，內有垂直向里的勻強磁場，磁感應強度為B₀，導體棒上升高度為h時，經歷的時間為t，且此時導體棒剛開始勻速上升，棒的有效總電阻為R₀，金屬框架電阻不計，棒與金屬框架接觸良好，請計算：

① 導體棒勻速上升時的速度和已知量的關系。

② 若t時刻導體棒的速度為v₀，求t時間內導體棒與金屬框架產生焦耳熱。

Answer 1

 (1)（5分）證明：如圖所示，邊長L₁切割磁感線

產生電動勢e₁=BL₁V_⊥=BL₁Vsinωt   而線速度V=

∴ e₁=BL₁sinωt  因有兩個邊切割，      

且有N匝∴ e=2N e₁=NBL₁L₂ωsinωt         即：e=E_msinωt

（2）(4分)此電流通過電動機時，輸入的功率

P_入=UI= 由能量守恒知：  P_入=P_Q＋P（P為機械功率）

∴P=I－I²R   

  （3）①（4分）電機帶導體棒勻速上升。受力如圖

F=B₀IL＋mg     I= ，F=    ∴=mg＋

即：I－I²R= mgv＋v

  ②（4分）對上升h應用動能定理：Pt－W－mgh=mv₀²－0

  Q=W= Pt－mgh－mv₀²        Q=(I－I²R)t－mgh－mv₀²