Question

20．如圖所示，半徑為r=$\frac{1}{π}$m的半圓形單匝線圈$\widehat{CD}$在磁感應強度為B=$\sqrt{2}$T的磁場中繞軸線MN勻速轉動給小型電動機和小燈泡（5V　10W）供電，線圈由電阻率為ρ=3×10^-8Ω•m、橫截面積S₀=1×10^-7m²的金屬絲繞制而成，MC、DN兩段的電阻不計，轉速為n=10r/s，電動機線圈的電阻為R=0.4Ω，小燈泡恰能正常發光．
（1）求感應電動勢的最大值和感應電流的最大值；
（2）求電動機的機械效率．

Answer 1

分析 （1）由E_m=NBSω求出感應電動勢的最大值，根據電路的燈泡電流，可知，電流有效值，即可求解感應電流最大值；
（2）求解通過電動機的電流．電動機的機械功率等于電功率與內部發熱功率之差，求出機械功率及效率．

解答 解：（1）因為半圓形單匝線圈勻速轉動，感應電動勢的最大值就出現在題圖所示的垂直位置，
E_m=nBSω=1×$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}×$π×（$\frac{1}{π}$）²×2π×10 V=10$\sqrt{2}$ V
小燈泡（5V，10W）能正常發光，則I=$\frac{P}{U}$=$\frac{10}{5}$=2A
感應電流最大值
I_m=$\sqrt{2}$I=2$\sqrt{2}$A．
（2）由于電動機與燈泡串聯，那么通過電動機的電流也為I=2A，
由于線圈的感應電動勢的有效值為U_感=$\frac{\sqrt{2}}{2}$E_m=10V，因此電動機兩端的電壓為U′=10-5=5V
則電動機的機械功率為P_機=U′I_M-${I}_{M}^{2}$R=5×2-2²×0.4（W）=8.4W；
電動機的機械效率為η=$\frac{{P}_{機}}{U{′I}_{M}}$=$\frac{8.4}{5×2}$=84%
答：（1）感應電動勢的最大值10$\sqrt{2}$ V，感應電流的最大值2$\sqrt{2}$ A；
 （2）電動機的機械效率84%．

點評 本題是簡單的交流發電機的原理，考查綜合應用法拉第定律等電磁學規律分析實際問題的能力．要注意有效值、最大值與平均值的區別．
同時電動機電路正常工作時是非純電阻電路，不能根據歐姆定律直接求其電流，同時根據能量關系求解機械功率．