Question

3．如圖所示，豎直固定放置的粗糙斜面AB的下端與光滑的圓弧軌道BCD在B點相切，圓弧軌道的半徑為R，圓心O與A、D在同一水平面上，C點為圓弧軌道最低點，∠COB=θ=30°．現使一質量為m的小物塊從D點無初速度地釋放，小物塊與粗糙斜面AB間的動摩擦因數μ＜tanθ，則關于小物塊的運動情況，下列說法正確的是（　　）

• A． 小物塊可能運動到A
• B． 小物塊經過較長時間后會停在C點
• C． 小物塊通過圓弧軌道最低點C時，對C點的最大壓力大小為2mg
• D． 小物塊通過圓弧軌道最低點C時，對C點的最小壓力大小為（3-$\sqrt{3}$）mg

Answer 1

分析 由幾何知識得知，斜面的傾角等于30°．物體從A點無初速度滑下后，由于克服摩擦力做功，物體在斜面上運動時機械能不斷減小，到達的最大高度越來越小，最終在BE圓弧上來回運動，到達B點的速度為零．
當物體第一次經過C點時，速度最大，對C點的壓力最大，當最后穩定后，物體在BE之間運動時，經過C點時速度最小，物體對C點的壓力最小，根據動能定理求出最大速度和最小速度，再由牛頓運動定律求解最大壓力和最小壓力．

解答 解：AB、物體從D點無初速度滑下后，由于在AB段要克服摩擦力做功，所以物體在斜面上運動時機械能不斷減小，在斜面上升的最大高度越來越小，不可能運動到A點，最終在BE圓弧上來回運動，不會停在C點．故A、B錯誤．
C、物塊第一次運動到C時速度最大，對軌道的壓力最大．物塊從D第一次運動到C過程，由動能定理得：
    mgR=$\frac{1}{2}$mv₁²
設此時軌道對物體的支持力F₁，由牛頓第二定律得：
  F₁-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$聯立解得：F₁=3mg，由牛頓第三定律知物塊對C點的最大壓力為3mg．故C錯誤．
D、當最后穩定后，物體在BE之間運動時，設物體經過C點的速度為v₂，由動能定理得：
    mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv₂²
設軌道對物體的支持力F₂，由牛頓第二定律得：
   F₂-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
聯立解得：F₂=3mg-2mgcosθ=（3-$\sqrt{3}$）mg
由牛頓第三定律可知，物體對C點的最小壓力為（3-$\sqrt{3}$）mg．故D正確．
故選：D

點評 本題是動能定理與牛頓運動定律的綜合應用，關鍵是分析物體的運動過程，明確C點圓周運動的向心力的來源為合外力．