Question

如圖所示，兩根足夠長的光滑固定平行金屬導軌與水平面成θ角，導軌間距為d，兩導體棒a和b與導軌垂直放置，兩根導體棒的質量都為m、電阻都為R，回路中其余電阻不計。整個裝置處于垂直于導軌平面向上的勻強磁場中，磁感應強度的大小為B。在t=0時刻使a沿導軌向上做速度為v的勻速運動，同時將b由靜止釋放，b經過一段時間后也做勻速運動。已知d=1 m，m=0.5kg，R=0.5Ω，B=0.5 T，θ=30°，g取10 m/s²，不計兩導體棒間的相互作用力。
(1)為使導體棒b能沿導軌向下運動，a的速度v不能超過多大？
(2)若a在平行于導軌向上的力F作用下，以v₁=2 m/s的速度沿導軌向上勻速運動，試導出F與b 的速率v₂的函數(shù)關系式并求出v₂的最大值；
(3)在(2)中，當t=2 s時，b的速度達到5.06 m/s，2s內回路中產生的焦耳熱為13.2 J，求該2s內力F做的功（本小題結果保留三位有效數(shù)字）。

Answer 1

解：(1)設a的速度為v₁，由于b初態(tài)速度為零，則 ①
對b： ②
F_A＜mgsinθ ③
將①②式代入③式得v₁＜10 m/s ④
(2)設a的速度為v₁，b的速度為v₂，回路電流為I
則 ⑤
對a：mgsinθ+F_A=F，即 ⑥
代入數(shù)據(jù)得
設b的最大速度為v_m，則有
代入數(shù)據(jù)得v_m=8 m/s
(3)對b：mgsinθ-F_A=ma，
取任意無限小△t時間
代入數(shù)據(jù)并求和得，8t-x₂=2v₂
將t=2 s，v₂=5.06 m/s代入上式得x₂=5.88m
a的位移x₁=v₁t=2×2 m=4 m
由功能關系知
代入數(shù)據(jù)得W_F=14.9 J