Question

用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線拉一質(zhì)量為m的小球，小球帶電量為+q，細(xì)線一端懸于固定點(diǎn)O，整個(gè)裝置放在水平向右一足夠大的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，小球靜止時(shí)細(xì)線與豎直方向的夾角為θ，電場(chǎng)范圍足夠大，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小；
（2）將小球拉至O點(diǎn)正下方最低點(diǎn)由靜止釋放，小球向上擺動(dòng)過程中的最大速度大小；
（3）在（2）問中，小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)細(xì)線對(duì)小球的拉力大小；
（4）若將小球拉至O點(diǎn)正下方最低點(diǎn)時(shí)給它一水平向右的初速度，小球在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，這個(gè)初速度至少是多大？

Answer 1

【答案】分析：（1）小球靜止A點(diǎn)時(shí)，受到重力、電場(chǎng)力和繩子的拉力而平衡，根據(jù)平衡條件求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小．
（2）將小球拉至O點(diǎn)正下方最低點(diǎn)由靜止釋放，小球向上擺動(dòng)過程中經(jīng)過平衡位置時(shí)速度最大，根據(jù)動(dòng)能定理求出最大速度．
（3）小球到最高點(diǎn)時(shí)，速度為零，向心力為零，繩子的拉力等于重力和電場(chǎng)力沿法線方向的合力．
（4）當(dāng)小球恰好到達(dá)A點(diǎn)關(guān)于懸點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，由電場(chǎng)力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球經(jīng)這點(diǎn)的速度，由動(dòng)能定理求出初速度．
解答：解：（1）小球靜止A點(diǎn)時(shí)，受力如圖所示
據(jù)三力平衡條件，得
   tanθ=
解得，E=  ①
（2）小球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)速度最大，由動(dòng)能定理，得
   qELsinθ-mgL（1-cosθ）=mv² ②
將①式代入，得
v=  ③
小球從最底點(diǎn)到最高點(diǎn)時(shí)，速度為零，向心力為零，細(xì)線與豎直方向成α角，由動(dòng)能定理，得
qELsinα-mgL（1-cosα）=0  ④
將①式代入④式，得
   tanθsinα=1-cosα
解得，α=2θ
在最高點(diǎn)，重力與電場(chǎng)力合力的法線分力與拉力平衡，設(shè)線的拉力為F
F=mgcos2θ+qEsin2θ=mgcos2θ+mgtanθ?sin2θ=mg（2cos²θ-1）+mgtanθ?2sinθcosθ=mg
（3）設(shè)B點(diǎn)與A點(diǎn)對(duì)懸點(diǎn)O對(duì)稱，即AB為圓軌跡的直徑，當(dāng)小球恰好能運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，就能在豎直面內(nèi)恰好做完整的圓周運(yùn)動(dòng)
在B點(diǎn)，重力與電場(chǎng)力的合力提供向心力
  =m
設(shè)將小球拉至O點(diǎn)正下方最低點(diǎn)時(shí)給它一水平向右的初速度為v，由動(dòng)能定理，得
-2mgLcosθ-qELsinθ=mv_B²-mv²
解得
v=
答：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E=；
（2）將小球拉至O點(diǎn)正下方最低點(diǎn)由靜止釋放，小球向上擺動(dòng)過程中的最大速度大小v=；
（3）在（2）問中，小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)細(xì)線對(duì)小球的拉力大小為mg；
（4）若將小球拉至O點(diǎn)正下方最低點(diǎn)時(shí)給它一水平向右的初速度，小球在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，這個(gè)初速度至少是v=．
點(diǎn)評(píng)：本題小球的運(yùn)動(dòng)類似于單擺，關(guān)于平衡位置具有對(duì)稱性，α=2θ．B點(diǎn)相當(dāng)于豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)，也稱為物理最高點(diǎn)．