Question

（2007?湖南模擬）如圖所示，長為L的木板A右邊固定一個擋板，包括擋板在內的總質量為1.5M，靜止在光滑的水平地面上．另一質量為M的小木塊B（視為質點），從木板A的左端開始以初速度為v₀在木板A上滑動，小木塊B與木板A間的動摩擦因數為μ，小木塊B滑到木板A的右端與擋板發生碰撞，已知碰撞過程時間極短，且碰后木塊B恰好滑到木板A的左端就停止滑動．求：
（1）若μL=

3 v 2 0

160g

（g為重力加速度），在小木塊B與擋板碰撞后的運動過程中，摩擦力對木板A做正功還是做負功？做功為多少？
（2）木板A與小木塊B在碰撞后的整個運動過程中，若木塊B在某一段時間內相對地面運動方向向左，試求木塊B能向左滑動，又能保證木板A和小木塊B剛好不脫離的條件．

Answer 1

分析：（1）B在A上滑動過程，系統所受的合外力為零，動量守恒．木塊B恰好滑到A的左端停止，兩者速度相等，根據動量守恒列式求此時B的速度．B與擋板碰撞后的過程，根據動量守恒和能量守恒列式求出兩個物體的速度，再對A，根據動能定理列式，求摩擦力對木板A做的功．
（2）通過分析A的受力情況和運動情況，判斷A能否向左運動．根據動量守恒和能量結合分析B能否向左運動．

解答：解：（1）設木塊B與木板A碰撞后瞬間A的速度為v₁，B的速度為v₂，A、B相對靜止后的共同速度為v，整個過程中A、B組成的系統動量守恒，有：
Mv₀=（M+1.5M）v…①
解得：v=

2

5

v0…②
碰撞后直至相對靜止的過程中，系統動量守恒，機械能的減少量等于系統克服摩擦力做的功，即：
Mv₂+1.5Mv₁=2.5Mv…③

1

2

（1.5M

v

2 1

+M

v

2 2

-2.5Mv²）=μMgL…④
由②③④解得：v₁=

1

2

v0   （另一解v₁=0.3v₀，因小于v，舍去）
這段過程中，設木板A克服摩擦力做功為W，則有：
W=

1

2

×1.5M

v

2 1

-

1

2

×1.5Mv2=

27

400

M

v

2 0

=0.0675M

v

2 0

（2）出題意知木塊B在碰撞之后，相對地面向左運動，先計算當v₂=0時滿足的條件，由③式得：v₁=

2v0

3

-

2v2

3

．
當v₂=0時，有v1=

2v0

3

，代人④式得：

1

2

×1.5M（

2v0

3

）²-

1

2

×2.5M×（

2

5

v0）²=μMgL
解得：μgL=

2 v 2 0

15

要木塊B向左運動，則v₂=＜0，所以木塊B在某段時間內向左運動的條件之一是：
μL＞

2 v 2 0

15g

．
另一方面整個過程中損失的機械能一定大于等于系統摩擦力做的功，即：
 

1

2

M

v

2 0

-

1

2

×2.5M×（

2

5

v0）²≥2μMgL
解出另一個條件是：μL≤

3 v 2 0

20g

．
最后得出木塊B在某段時間內向左運動的條件是：

2 v 2 0

15g

＜μL≤

3 v 2 0

20g

．
答：
（1）若μL=

3 v 2 0

160g

（g為重力加速度），在小木塊B與擋板碰撞后的運動過程中，摩擦力對木板A做正功，做功為0.0675M

v

2 0

．
（2）最后得出木塊B在某段時間內向左運動的條件是

2 v 2 0

15g

＜μL≤

3 v 2 0

20g

．

點評：正確應用動量守恒和功能關系列方程是解決這類問題的關鍵，尤其是弄清相互作用過程中的功能關系．