Question

20．“雙星體系”由兩顆相距較近的恒星組成，每個恒星的半徑遠小于兩個星球之間的距離，而且雙星系統一般遠離其他天體．如圖所示，相距為L的A、B兩恒星繞共同的圓心O做圓周運動，A、B的質量分別為m₁、m₂，周期均為T．若有間距也為L的雙星C、D，C、D的質量分別為A、B的兩倍，則（　　）

• A． A、B運動的軌道半徑之比為$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$
• B． A、B運動的速率之比為$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$
• C． C運動的速率為A的2倍
• D． C、D運動的周期均為$\frac{\sqrt{2}}{2}$T

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，具有相同的角速度．對兩顆星分別運用牛頓第二定律和萬有引力定律列式，進行求解即可．

解答 解：A、對于雙星A、B，有G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₁（$\frac{2π}{T}$）²r₁=m₂（$\frac{2π}{T}$）²r₂，r₁+r₂=L，得r₁=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$L，r₂=$\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$L，T=2πL$\sqrt{\frac{L}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$，A、B運動的軌道半徑之比為$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$，故A錯誤；
B、由v=$\frac{2πr}{T}$得，A、B運動的速率之比為$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$，故B錯誤；
C、D、運動的周期T'=2πL$\sqrt{\frac{L}{G（2{m}_{1}+2{m}_{2}）}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$T；C的軌道半徑r₁'=$\frac{2{m}_{2}}{2{m}_{1}+2{m}_{2}}$L=r₁，C運動的速率為v₁'=$\frac{2πr{'}_{1}}{T'}=\sqrt{2}$v₁，故C錯誤，D正確
故選：D

點評 解決本題的關鍵知道雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及會用萬有引力提供向心力進行求解．