Question

如圖所示，光滑斜面的傾角θ=30°，在斜面上放置一矩形線框abcd，ab邊的邊長為1m，bc邊的邊長為0.8m，線框的質量M=4kg，電阻為0.1Ω，線框通過細線繞過光滑的定滑輪與重物相連，滑輪的質量不計，重物的質量m=lkg，斜面上ef和曲線為斜面上有界勻強磁場的邊界，與斜面的底邊平行，ef和曲線的間距為1.8m，磁場方向垂直于斜面向上，B=0.5T，開始cd邊離gh邊的距離為2.25m，由靜止釋放，線框恰好能勻速穿過ef邊界，線框滑動過程中cd邊始終與底邊平行，求：（設斜面足夠長，重物m不會與滑輪接觸，g取10m/s²） 
（1）線框cd邊剛進入磁場時速度的大小．
（2）線框進入磁場過程中通過線框的電量．
（3）線框進入磁場過程中在線框中產生的焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）在進入磁場之前，M和m組成的系統機械能守恒，根據機械能守恒定律求出線框cd邊剛進入磁場時的速度大小．
（2）通過法拉第電磁感應定律結合閉合電路歐姆定律，根據q=It求出線框進入磁場過程中通過線框的電量．
（3）抓住線框恰好能勻速穿過ef邊界，根據平衡求出此時的速度，線框全部在磁場中運動時，系統機械能守恒，根據機械能守恒定律求出線框全部進入磁場時的速度，根據能量守恒定律求出線框進入磁場過程中在線框中產生的焦耳熱．

解答：解：（1）設M下落的高度h₁=2.25×sin30°m，m上升的高度h₂=2.25m．則M和m系統機械能守恒，則：
Mgh1-mgh2=

1

2

(M+m)v2   ①
線框剛進入磁場時的速度：v=3m/s．    ②
（2）線框進入磁場的過程中產生的感應電流的平均值為I，磁通量的變化量為△Φ，變化的時間為△t，感應電動勢為E，通過線框的電荷量為q，則有：
q=I△t   ③
I=

E

R

     ④
E=

△Φ

△t

    ⑤
由③④⑤式得，q=4C．    ⑥
（3）當線框在勻速穿過ef邊界時，設速度為v₁，由平衡知：
Mgsinα-mg-BIL=0       ⑦
I=

BLv1

R

    ⑧
由⑦⑧式得，v₁=4m/s．⑨
設線框完全進入磁場時的速度為v₂，下滑高度為H，重物上升的高度為 h，則：
MgH-mgh=

1

2

(m+M)v12-

1

2

(m+M)v22     ⑩
得v2=2

3

m/s．
從線框開始進入磁場到完全進入磁場的過程中，下滑的高度為H₁，重物上升的高度為h₃．此過程線框產生的焦耳熱為Q′，由功能關系得，

1

2

(m+M)v22-

1

2

(m+M)v2=MgH₁-mgh₃-Q′
得Q′=0.5J．
答：（1）線框cd邊剛進入磁場時速度的大小為3m/s．
（2）線框進入磁場過程中通過線框的電量為4C．
（3）線框進入磁場過程中在線框中產生的焦耳熱為0.5J．

點評：本題考查了電磁感應與力學和能量的綜合，涉及到共點力平衡、能量守恒定律、機械能守恒定律、閉合電路歐姆定律等，綜合性較強，對學生的能力要求較高，需加強這方面的訓練．