Question

如圖所示，兩平行光滑的金屬導軌MN、PQ固定在水平面上，相距為L，處于豎直向下的磁場中，整個磁場由n個寬度皆為x₀的條形勻強磁場區域1、2…n組成，從左向右依次排列，磁感應強度的大小分別為B、2B、3B…nB，兩導軌左端MP間接入電阻R，一質量為m的金屬棒ab垂直于MN、PQ放在水平導軌上，與導軌電接觸良好，不計導軌和金屬棒的電阻．
（1）對導體棒ab施加水平向右的力，使其從圖示位置開始運動并穿過n個磁場區，求導體棒穿越磁場區1的過程中通過電阻R的電量q；
（2）對導體棒ab施加水平向右的恒力F₀，讓它從磁場區1左側邊界處開始運動，當向右運動距離

x0

2

時做勻速運動，求棒通過磁場區1所用的時間t；
（3）對導體棒ab施加水平向右的拉力，讓它從距離磁場區1左側x=x₀的位置由靜止開始做勻加速運動，當棒ab進入磁場區1時開始做勻速運動，此后在不同的磁場區施加不同的拉力，使棒ab保持做勻速運動穿過整個磁場區，求棒ab通過第i磁場區時的水平拉力F_i和棒ab在穿過整個磁場區過程中回路產生的電熱Q．

Answer 1

（1）電路中產生的感應電動勢為：E=

△Φ

△t

通過電阻R的電量為：q=I△t=

E△t

R

導體棒通過I區過程：△Φ=BLx₀
解得：q=

BLx0

R

故導體棒穿越磁場區1的過程中通過電阻R的電量：q=

BLx0

R

．
（2）設導體棒運動時速度為v₀，則產生的感應電流為：
I0=

E

R

=

BLv0

R

導體棒受到的安培力與水平向右的恒力F₀平衡，則
BI₀L=F₀
解得：v0=

F0R

B2L2

設棒通過磁場去I在△t時間內速度的變化為△v，對應的位移為△x，則
F0-BIL=m

△v

△t

△v=

F0

m

△t-

B2L2

mR

v△=

F0

m

△t-

B2L2

mR

△x
則∑△v=

F0

m

∑△t-

B2L2

mR

∑△x
解得：t=

B2L2x0

F0R

+

mR

B2L2

故棒通過磁場區1所用的時間t=

B2L2x0

F0R

+

mR

B2L2

．
（3）設進入I區時拉力為F₁，速度v，則有：
F1x0=

1

2

mv2 
 F1-

B2L2v

R

 =0
解得：F1=

2B4L4x0

mR2

，v=

2B2L2x0

mR

進入i區的拉力：Fi=

2i2B4L4x0

mR2

．
導體棒以后通過每區域都以速度v做勻速運動，由功能關系有：
Q=F₁x₀+F₂x₀+…+F_nx₀
解得：Q=

2 x 20 B4L4

mR2

(12+22+…n2)
故棒ab通過第i磁場區時的水平拉力的拉力：Fi=

2i2B4L4x0

mR2

，棒ab在穿過整個磁場區過程中回路產生的電熱Q=

2 x 20 B4L4

mR2

(12+22+…n2)．