Question

如圖所示，質量為m=5 kg、電量為q=0.1 C的帶正電小金屬塊A放在質量為M=1 kg的絕緣長木板B的右端，二者以v₀=6 m/s的共同速度沿光滑水平面向右滑向一有理想邊界MN、方向水平向左的勻強電場E中(電場的右邊界為無限遠，金屬塊帶電量始終不變)金屬塊與木板之間動摩擦因數μ=0.1,取g=10 m/s²。求：

(1)若電場強度大小為E=120 N/C，電場從A、B進入MN開始持續存在t₁=4 s，則t₁=4 s時金屬塊A的速度和這4 s內電場力做的功?

(2)若電場強度大小為E=350 N/C，電場從A、B進入MN開始持續存在t₂=1 s，要使金屬塊A一直不滑離木板，則木板B長度至少為多少?

Answer 1

解析：(1)假設二者不相對滑動，對整體由牛頓第二定律：qE=(M+m)a₁，(設初速度方向為正方向)。得加速度a₁=2 m/s²

m對M的最大靜摩擦力產生的加速度a₂=μmg/M=5 m/s²＞a₁故二者不相對滑動，4 s時二者的共同速度為v=v₀-a₁t₁=6 m/s-2×4 m/s=-2(m/s)方向向左此過程電場力對做功為：W=qE×=0.1×120×=96(J)負功

(2)假設二者不相對滑動，對整體由牛頓第二定律：qE=(M+m)a₂,得加速度a₂= m/s²＞a²故二者要相對滑動

m的加速度為：a′₁==6(m/s²)

M的加速度為：a′₂===5(m/s²)

在t₂=1 s時，m的速度為v₁=v₀-a′₁t₁=6-6×1=0

在t₂=1 s內，m對地的位移s₁==3 m

M的速度為v₂=v₀-a′₂t₁=6-5×1=1(m/s)

在t₂=1 s后，系統動量守恒，設m達M左端共同速度為v₃，板的最小長度為LMv₂=(M+m)v₃(1)

又由系統動能定理得：

qEs₁+μmgL=(M+m)-(M+m)            (2)

聯立(1)、(2)兩式代入數值解得：

L= m=0.58 m

故板的最小長度為0.58 m

答案：(1)-2 m/s，負號表方向向左(與v₀方向相反) 4 s內：W=96 J(負功) (2)0.58 m