Question

（2006?海淀區二模）如圖所示，位于豎直平面內的矩形平面單匝導線框abcd，其下方有一勻強磁場區域，該區域的上邊界PP′水平，并與線框的ab邊平行，磁場方向與線框平面垂直．已知磁場的磁感應強度為B，線框ab邊長為L₁，ad邊長為L₂，線框質量為m．令線框的dc邊從離磁場區域邊界PP′的高度為h處由靜止開始下落，線框剛好勻速進入磁場區域．
（1）求線框的電阻R．
（2）求線框在進入磁場的過程中，通過線框導線橫截面的電荷量q．
（3）若將線框從dc邊離磁場區域邊界PP′的高度為H處由靜止開始下落，當線框的一半進入磁場時，線框剛好開始勻速下落，求線框進入磁場過程中，安培力做的總功W．

Answer 1

分析：（1）線框剛好勻速進入磁場區域，安培力和重力平衡，根據歐姆定律、法拉第電磁感應定律、安培力公式推導出安培力公式，由平衡條件求出電阻．
（2）根據力平衡方程求出電流，確定出磁場進入磁場的時間，求出通過線框導線橫截面積的電荷量q．
（3）根據能量守恒定律求解線框進入磁場的過程中產生的焦耳熱Q．根據功能關系知，線框克服安培力做功等于線框產生的焦耳熱．

解答：解：（1）設線框進入磁場時的速度為v，從線框開始下落到dc進入磁場的過程中，線框機械能守恒．即
   mgh=

1

2

mv2
線框進入磁場過程中，回路電動勢為 E=BL₁v 
線框進入磁場過程中，通過線框的電流為 I=

E

R

     
由于線框勻速進入磁場區域，所以線框受力平衡，即：mg=BIL₁
由以上各式并代入數值可得：R=

B2 L 2 1 2gh

mg

（2）線框進入磁場所用時間為：t=

L2

v

流經線框導線橫截面的電量為：q=It
由以上各式并代入數值可得：q=

L2m

BL1

g 2h

（3）線框勻速下落的速度與（1）中的下落速度相同，即v=

2gh

從線框開始下落到線框全部進入磁場過程中，根據動能定理得
   mg（H+L₂）+W=

1

2

mv2
解得：W=-mg（H-h+L₂）
答：
（1）線框的電阻R是

B2 L 2 1 2gh

mg

．
（2）線框在進入磁場的過程中，通過線框導線橫截面的電荷量q為

L2m

BL1

g 2h

．
（3）線框進入磁場過程中，安培力做的總功W是-mg（H-h+L₂）．

點評：此題是電磁感應與力學、電路、磁場等知識的綜合應用．電量也可以運用經驗公式q=n

△Φ

R+r

求解．