Question

如圖所示，光滑的平行金屬導軌CD與EF間距為L=1m，與水平面夾角為θ＝30 °，導軌上端用導線CE連接(導軌和連接線電阻不計)，導軌處在磁感應強度為B＝0.1T、方向垂直于導軌平面向上的勻強磁場中，一根電阻為R＝1Ω的金屬棒MN兩端有導電小輪擱在兩導軌上，棒上有吸水裝置P，取沿導軌向下為x軸正方向。坐標原點O在CE中點，開始時棒處在x＝0位置(即與CE重合)，棒的起始質(zhì)量不計。當棒自靜止開始下滑時，便開始吸水，質(zhì)量逐漸增大，設棒質(zhì)量的增加量與位移x的平方根成正比，即m＝k，k為一常數(shù)，k＝0.1 kg·m。
(1)猜測金屬棒下滑過程中做的是什么性質(zhì)的運動，并加以證明。
(2)求金屬棒下滑2m位移時速度為多大？

Answer 1

解：(1)由于棒從靜止開始運動，因此首先可以確定棒開始階段做加速運動，如圖所示

棒在下滑過程中沿導軌方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F。由于m隨位移x增大而增大，所以mgsinθ是一個變力；而安培力與速度有關，也隨位移增大而增大。如果兩個力的差值恒定，即合外力是恒力的話，棒做勻加速運動。不妨假設棒做的是勻加速運動，且下滑位移x時的加速度為a
安培力F＝BIL，I＝，所以F＝
根據(jù)牛頓第二定律，有
mgsinθ－F＝ma
有mgsinθ－＝ma
棒做勻加速運動，則瞬時速度
v＝
由于m＝k，代入后得到
kgsinθ－＝k·a
消去后得到kgsinθ－－ka＝0①
從上述方程可以看出a的解是一個定值，與位移x無關，這表明前面的假設成立，棒的運動確實是勻加速運動
(2)將題目給出的數(shù)據(jù)代入①式得
0．1×10×0.5－－0.1a＝0
化簡得10a＋·－50＝0
令y＝，則上式可寫作10y²＋y－50＝0
解得y＝2.17，即a＝y²＝4.71m/s²
根據(jù)勻變速運動規(guī)律
v_x＝＝m/s＝4.34m/s