Question

17．用萬有引力定律證明：對一個行星的衛星來說，$\frac{{R}^{3}}{{T}^{3}}$是一個恒量．其中R是衛星的軌道半徑，T是衛星的運行周期．

Answer 1

分析 根據恒星對行星的萬有引力提供行星做圓周運動所需的向心力，列出方程即可求證

解答 證明：行星與恒星之間的萬有引力F=$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
向心力F=m$\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
根據萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
得$\frac{4{π}_{\;}^{2}}{GM}=\frac{{T}_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{3}}$       因為G、M一定      因此$\frac{{R}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}$是一恒量
證畢

點評 本題掌握一個重要的關系：恒星對行星的萬有引力提供行星做圓周運動所需的向心力，注意選擇合適的向心力公式．