Question

10．如圖所示，導熱性能良好的U形玻璃細管豎直放置，水平細管又與U形玻璃細管底部相連通，各部分細管內徑相同．U形管左管上端封有長11cm的理想氣體柱B，右管上端用不計質量的小活塞封閉，形成一段氣體柱C，氣體柱B、C長度相同，U形玻璃管左、右兩側水銀面恰好相平，水銀面距U形玻璃管底部的高度為15cm．水平細管內封有長為10cm的理想氣體柱A．現將小活塞緩慢向下推，使氣體柱B的長度變為10cm，此時氣體柱A仍封閉在水平玻璃管內．已知外界大氣壓強為 75cmHg，玻璃管周圍溫度不變．試求：
①最終氣體柱B的壓強；
②活塞推動的距離．

Answer 1

分析 （1）活塞緩慢向右推的過程中，氣體B做等溫變化，由玻意耳定律求解
（2）求出A部分氣體的最初和最終壓強，由玻意耳定律求解A部分氣體的最終長度，根據液柱總長度不變以及A部分氣體的長度變化得到活塞推動的距離

解答 解：（1）活塞緩慢向右推的過程中，氣體B發生等溫變化，${p}_{B1}^{\;}{V}_{B1}^{\;}={p}_{B2}^{\;}{V}_{B2}^{\;}$
$75×11S={p}_{B2}^{\;}×10S$（設S為玻璃管橫截面）
${p}_{B2}^{\;}=82.5cmHg$（即最終氣體B壓強為82.5cmHg）
（2）設水銀密度為ρ，活塞緩慢向下推的過程中，氣體柱A做等溫變化
初狀態：${p}_{A1}^{\;}={p}_{B2}^{\;}+ρg{h}_{1}^{\;}=75cmHg+15cmHg=90cmHg$
末狀態：${p}_{A2}^{\;}={p}_{B2}^{\;}+ρg{h}_{2}^{\;}=82.5cmHg+16cmHg=98.5cmHg$
由玻意耳定律，${p}_{A1}^{\;}{L}_{A1}^{\;}S={p}_{A2}^{\;}{L}_{A2}^{\;}S$
解得${L}_{A2}^{\;}=9.137cm$
設活塞向下移動距離為x，右管水銀液面向下移動距離為y，則有$y={L}_{A1}^{\;}-{L}_{A2}^{\;}+{L}_{B1}^{\;}-{L}_{B2}^{\;}=1.863cm$
氣體柱C做等溫變化，初狀態：${p}_{C1}^{\;}=75cmHg$
末狀態：${p}_{C2}^{\;}={p}_{B2}^{\;}+ρg（{h}_{2}^{\;}-{h}_{1}^{\;}+y）=85.363cmHg$
由玻意耳定律，${p}_{C1}^{\;}{V}_{C1}^{\;}={p}_{C2}^{\;}{V}_{C2}^{\;}$
即75cmHg×11cm×S=85.363cmHg×（11cm-x+1.863）S
解之得x=3.196cm
即活塞推動的距離為3.196cm
答：①最終氣體柱B的壓強82.5cmHg；
②活塞推動的距離為3.196cm．

點評 氣體的狀態變化問題關鍵是分析氣體發生的是何種變化，要挖掘隱含的條件，比如緩慢推動活塞往往溫度不變，封閉氣體發生等溫變化．此外注意挖掘過程中的數學關系．