Question

有許多大小不同的氣球漂浮在空氣中，如圖所示，圖中左邊P為固定的透風網格，氣球受到水平向左的恒定風力的作用，可作勻加速運動．已知風對氣球的作用力與球的最大截面成正比，即F=kS（k為一常量）．對氣球來說空間存在一個風力場，類比于電場和重力場，請你完成以下問題．
（1）請你定義風力場的強度及表達式．
（2）由在該風力場中風力對氣球做功與路徑無關（氣球運動時所受阻力不計），可引入風力勢能和風力勢的概念．若以網格P為零勢能參考平面，寫出風力勢能Ep和風力勢U的表達式．
（3）寫出風力場中機械能守恒定律的表達式（對氣球而言，阻力不計．氣球平均密度為ρ，氣球半徑為r，第一狀態速度為v₁，位置為x₁；第二狀態速度為v₂，位置為x₂）．
（4）某一氣球半徑為r=0.1m，在網格中1m處以v₀=10m/s初速度斜向拋出，它落到網格P處的速度為多大（空氣密度ρ=1.3kg/m³，比例常數k=10N/m²）？

Answer 1

分析：本題可以類比電場強度進行分析，風力強度類似于電場強度，與所受的分力無關，電場力所做的功等于電勢能的減小量，則風力勢能的減小量等于風力所做的功．

解答：解：（1）類比于電場，可定義風力場強度為風對球的作用力與球的最大截面之比，
即E=

F

S

=k，方向向左與風的方向一致．      
（2）設球離零勢能參考面P距離為x（x與風力方向平行），類比于重力場得：
Ep=W=kSx，
類比于電場得：U=

EP

S

=kx（風力勢僅取決于場的性質，與球無關）．    
（3）機械能守恒定律表達式為：

1

2

mv₁²+kSx₁=

1

2

mv₂²+kSx₂．
由于m=ρV=ρ

4

3

πr³，S=πr²，代入上式后得到：

2

3

ρrv₁²+kx₁=

2

3

ρrv₂²+kx₂． 
這就是在該風力場中機械能守恒的普遍表達式．
（4）因為

2

3

ρrv₁²+kx₁=

2

3

ρrv₂²，
所以v₂=

v12+3kx1 2ρr

=

102+3×10 2×1.3×0.1

=14.68m/s

答：（1）風力場強度為風對球的作用力與球的最大截面之比，E=

F

S

=k，方向向左與風的方向一致．．
（2）風力勢能Ep和風力勢U的表達式為U=

EP

S

．
（3）風力場中機械能守恒定律的表達式為

2

3

ρrv₁²+kx₁=

2

3

ρrv₂²+kx₂；

（4）它落到網格P處的速度為14.68m/s

點評：解決本題的關鍵采用類比的方法，風力強度類比于電場強度，風力做功與風力勢能的關系類比于電場力做功與電勢能的關系．