Question

如圖所示，在與光滑絕緣的水平面上存在一和水平面重合的大小為E且區域足夠大的勻強電場，在平行電場線的方向上有兩個靜止的小球A和B（均可視為質點），兩小球的質量均為m，A球帶-q，B球不帶電．開始時兩球相距為L，在電場力的作用下，A球開始沿直線運動并與B球發生對心正碰，碰撞中A、B兩球的總動能無損失，設在每次碰撞過程中A、B間無電荷轉移，若不考慮小球間的萬有引力，求：（不計碰撞時間和位移）
（1）A球經過多長時間與B球發生第一次碰撞以及碰撞后兩球的速度各為多大？
（2）從A球開始運動到兩球發生N次碰撞，A球經歷的時間t以及A球的總位移S各是多少？

Answer 1

分析：（1）根據動量定理和動能定理結合或根據牛頓第二定律求出A球的加速度，由速度位移公式求出A球與B球碰撞前的速度．
由于碰撞過程中A、B兩球總動能無損失，由動量守恒和動能守恒列式，可知兩個物體交換速度．
（2）作出速度-時間圖象，由圖象確定出兩球從第一次碰撞到再次碰撞所經歷的時間，采用歸納法得到兩球發生N次碰撞，A球經歷的時間t．根據速度圖象的面積求出總位移S．

解答：解：（1）設A歷時T與B第一次碰撞，且碰前的速度為v，由動量定理得：
  EqT=mv    ①
由動能定理得：EqL=

1

2

mv2  ②
解①②得T=

2mL qE

設兩球第一次碰后的速度分別為v₁，v₂，由動量守恒和動能守恒得：
 mv=mv₁+mv₂   ③

1

2

mv2=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

 ④
解之得：v₁=0，v₂=v=

2qEL m

 ⑤
（2）對于A、B的碰撞過程，作出其速度-時間圖象，如圖所示，不難發現，由于碰撞中無能量損失和電荷的轉移，兩者從第一次碰撞后到再次碰撞的時間間隔相等，且為2T．
碰后A球每次經電場加速得到的速度經碰撞后和B球交換速度．
則從A球開始運動到兩球發生N次碰撞，A球經歷的時間有：
t=T+（N-1）2T=（2N-1）

2ml qE

   ⑥
總位移為S=

1

2

vT+v?2T+2v?2T+L+（N-1）?v2T=

vT

2

（2N²-2N+1）=（2N²-2N+1）L
答：
（1）A球經過

2mL qE

時間與B球發生第一次碰撞，碰撞后A、B兩球的速度各為0和

2qEL m

．
（2）從A球開始運動到兩球發生N次碰撞，A球經歷的時間t是（2N-1）

2ml qE

，A球的總位移S是（2N²-2N+1）L．

點評：本題是小球周期性運動問題，關鍵作出速度圖象，采用歸納法總結規律，運用數學知識求解．