Question

3．北京時間2009年3月1日16時13分10秒，嫦娥一號衛星在北京航天飛行控制中心科技人員的精確控制下，成功地實施了對月球的撞擊．現將嫦娥一號衛星的運動過程做以下簡化處理：設嫦娥一號衛星質量為m，在距月球表面高h處繞月球做勻速圓周運動，重力勢能為E_p（以月球表面為零勢能面）．在飛行控制中心的指令下發動機點火向前噴射氣體，使衛星瞬間減速制動．在：此過程中衛星克服阻力做功，其大小為W，之后變軌撞向月球．已知月球半徑為R，月球表面重力加速度為g，忽略月球自轉影響．求：
（1）嫦娥一號衛星制動前繞月球做勻速圓周運動時的速率；
（2）衛星剛撞到月球表面時的速率．

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力提供向心力，以及萬有引力等于重力，求出嫦娥一號衛星制動前繞月球做勻速圓周運動時的速率；
（2）根據動能定理求出減速制動后的速度，結合機械能守恒定律求出衛星剛撞到月球表面時的速率．

解答 解：（1）根據$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$得嫦娥一號衛星的速率為：v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$，
根據GM=gR²，
解得：v=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$．
（2）根據動能定理得：-W=$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
制動后撞向月球，設到達月球表面的速度為v₃，由機械能守恒定律得：
${E}_{p}+\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}$，
聯立解得：v₃=$\sqrt{\frac{2{E}_{p}}{m}+\frac{g{R}^{2}}{R+h}-\frac{2W}{m}}$．
答：（1）嫦娥一號衛星制動前繞月球做勻速圓周運動時的速率為$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$；
（2）衛星剛撞到月球表面時的速率為$\sqrt{\frac{2{E}_{p}}{m}+\frac{g{R}^{2}}{R+h}-\frac{2W}{m}}$．

點評 本題考查了萬有引力定律理論與動能定理、機械能守恒的綜合，掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力，并能靈活運用．