Question

如圖甲所示，在虛線框兩側區域存在有大小為B、方向分別為水平向左和水平向右的勻強磁場．用薄金屬條制成的閉合正方形框aa′b′b邊長為L，質量為m，電阻為R．現將金屬方框水平地放在磁場中，aa′邊、bb′邊分別位于左、右兩邊的磁場中，方向均與磁場方向垂直，乙圖是從上向下看的俯視圖．金屬方框由靜止開始下落，其平面在下落過程中保持水平（不計空氣阻力）．
（1）請根據乙圖指出下落時方框中感應電流的方向；
（2）求方框下落的最大速度v_m（設磁場區域在豎直方向足夠長）；
（3）當方框下落的加速度為 

g

2

 時，求方框內感應電流的功率P；
（4）從靜止開始經過時間t，方框下落高度為h，速度為v_t（v_t＜v_m）．若在這段時間內感應電流做的功與一恒定電流I₀在t時間內在該框內做的功相同，求恒定電流I₀的表達式．

Answer 1

（1）金屬框豎直向下運動，垂直切割磁感線，根據右手定則判斷得知：感應電流的方向沿順時針方向．
（2）最大速度時，線框做勻速運動，線框受到的安培力與重力平衡，此時線框所受的安培力大小為
   F_安=2 BIL=

4B2L2vm

R

由平衡條件得 F_安=mg
聯立解得 v_m=

mgR

4B2L2

 
（3）當方框下落的加速度為a=

g

2

時，
根據牛頓第二定律得：ma=mg-F_安=mg-2BIL   
得I=

mg

4BL

 
則方框內感應電流的功率P=I²R=

m2g2R

16B2L2

（4））從靜到方框下落高度為h的過程中，根據能量守恒得
  mgh=

1

2

mv_t²+I₀²Rt  
 解得I₀=

mg(H+h)- 1 2 m v 2t Rt

答：
（1）下落時方框中感應電流的方向是順時針方向；
（2）方框下落的最大速度v_m為

mgR

4B2L2

．
（3）當方框下落的加速度為

g

2

時，方框內感應電流的功率P為

m2g2R

16B2L2

；
（4）恒定電流I₀的表達式為I₀=

mg(H+h)- 1 2 m v 2t Rt

．