Question

如圖所示，傾角為θ=30°的光滑斜面體P的底端帶有固定擋板C，P和C的總質量為M．勁度系數為k的輕質彈簧兩端連接質量均為m的小物塊A和B，B緊靠著擋板．一輕質細繩通過定滑輪，一端系在物塊A上，另一端系一細繩套（細繩與斜面平行，不計繩與滑輪間的摩擦，細繩套離地面足夠高）．開始時，斜面體P、物塊A、B靜止在光滑水平面上，細繩處于伸直狀態．

（1）現開始用一水平力F作用于P，且能使物塊B剛要離開擋板C。求此時力Ｆ的大小及從開始到此時物塊Ａ相對斜面體Ｐ的位移的大小d；

（2）若將斜面體P固定在水平面上,當在細繩套上輕輕掛上一個物體D后由靜止釋放，物體B恰能離開C，求物體D的質量m_D；

（3）若將斜面體P固定在水平面上,當在細繩套上輕輕掛一個質量也為m的物體Q后由靜止釋放，求物體A能達到的最大速度。

Answer 1

(1)開始時，彈簧壓縮了x₁,則對A有：

kx₁＝mgsinθ

當B剛要離開C時，由于A、B的質量相等，合力也相同，所以彈簧無形變。

從開始到此時物體Ａ相對斜面體Ｐ的位移大小d= x₁==.

對P、A、B用整體法分析，根據牛頓第二定律得：F=（M+2m）a,

   對A、B用整體法分析有：2mgtanθ=2ma

    解得：F=（M+2m）g tanθ=.

（2）物體B恰好離開擋板C時，彈簧伸長了x₂，則

Kx₂＝mgsin30⁰

∴x₂＝x₁，即彈性勢能不變

由機械能守恒得：

m_Dg（x₁＋x₂）=m_Ag· sin30⁰（x₁＋x₂）

解得  m_D＝m

（3）當物體A受到的加速度為0時，速度最大，此時Q的加速度也為0

掛物體Q前，彈簧被壓縮了x₁，                                                 

當物體A受到的合力為0時，設彈簧被拉伸了x₃，則

Kx₃＋mgsin30⁰＝mg

由上可知x₁＝x₃，即彈性勢能不變，且此時B的速度仍為0

設物體A的最大速度為v_m，由機械能守恒定律得

m_Qg（x₁＋x₃）－m_Ag sin30⁰（x₁＋x₃）＝（m_Q＋m_A）v_m²  

解得：v_m＝