Question

如圖所示，光滑水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點，彈簧處于自然狀態時其右端位于桌面右邊緣D點．水平桌面右側有一豎直放置的光滑軌道MNP，其形狀為半徑R=0.8m的圓環剪去了左上角135°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點到桌面的豎直距離也是R．用質量m=1.0kg的物塊將彈簧壓縮到B點后由靜止釋放，彈簧恢復原長時物塊恰從桌面右邊緣D點飛離桌面后，由P點沿圓軌道切線落入圓軌道．g=10m/s²，求：
（1）物塊離開D點時的速度v_D；
（2）DP間的水平距離；
（3）彈簧在B點時具有的彈性勢能；
（4）分析判斷物塊能否沿圓軌道到達M點．

Answer 1

分析：（1）物塊離開D點做平拋運動，由P點沿圓軌道切線落入圓軌道，知道了到達P點的速度方向，將P點的速度分解為水平方向和豎直方向，根據豎直方向上做自由落體運動求出豎直分速度，再根據角度關系求出水平分速度，即離開D點時的速度v_D．
（2）根據豎直方向的運動求出運行時間，分運動與合運動具有等時性，再根據水平方向上做勻速直線運動求出DP間的水平距離．
（3）物塊從B點到D點，彈簧的彈性勢能全部轉化為物塊的動能，根據能量守恒定律求出彈簧在B點時具有的彈性勢能．
（4）物塊在內軌道做圓周運動，在最高點有臨界速度，有mg=m

vm2

R

，根據機械能守恒定律，求出M點的速度，與臨界速度進行比較，判斷其能否沿圓軌道到達M點．

解答：解：（1）由P點沿圓軌道切線落入圓軌道，知速度與水平方向的夾角為45°．
物塊在P點豎直方向上的分速度為v_yp，有vyp2=2gR，代入數據v_yp=4m/s．
tan45°=

vyp

vx

=1，所以v_D=v_x=4m/s．
故物塊離開D點的速度為4m/s．
  （2）平拋運動的時間t=

vyp

g

=0.4s
所以DP間的水平距離x=v_Dt=4×0.4m=1.6m．
（3）根據能量守恒得，EP=

1

2

mvD2=

1

2

×1×16J=8J．
故彈簧在B點具有的彈性勢能為8J．
（4）設物塊到達M點的臨界速度為v_m，有mg=m

vm2

R

．
所以vm=

gR

=2

2

m/s．
到達P點的速度vp=4

2

m/s
根據機械能守恒定律，規定N點為0勢能面，有

1

2

mvp2+mgR(1-

2

2

)=

1

2

mvm′2+mg?2R
代入數據得，v_m′=

16-8 2

m/s＜2

2

m/s．
所以物塊不能到達圓軌道的M點．

點評：該題是平拋運動、圓周運動的綜合題，該題中要熟練掌握機械能守恒定律，能量守恒定律，以及圓周運動的臨界問題．