Question

如圖所示PQ、MN為足夠長的兩平行金屬導軌，它們之間連接一個阻值R=8Ω的電阻；導軌間距為L=1m；一質量為m=0.1kg，電阻r=2Ω，長約1m的均勻金屬桿水平放置在導軌上，它與導軌的滑動摩擦因數μ=

3

5

，導軌平面的傾角為θ=30°在垂直導軌平面方向有勻強磁場，磁感應強度為B=0.5T，今讓金屬桿AB由靜止開始下滑，下滑過程中桿AB與導軌一直保持良好接觸，桿從靜止開始到桿AB恰好勻速運動的過程中經過桿的電量q=lC，求：
（1）當AB下滑速度為2m/s時加速度的大小
（2）AB 下滑的最大速度
（3）從靜止開始到AB勻速運動過程R上產生的熱量．

Answer 1

分析：（1）對AB桿下滑過程中，受力分析，由牛頓第二定律、安培力公式與閉合電路歐姆定律及摩擦力表達式，列出方程即可求解．
（2）當AB桿加速度減至為零時，速度達到最大，從而根據方程計算，即可求解．
（3）根據法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律、電量表達式從而列出面積與電量、電阻及磁場、桿的長度關系，再由能量守恒關系，即可求解．

解答：解：（1）取AB桿為研究對象其受力如圖示建立如圖所示坐標系F_X=mgsinθ-F_B-f=ma ①
F_B=N-mgcosθ=0 ②
摩擦力f=μN ③
安培力  F_B=BIL ④
I=

E

R+r

⑤
E=BLv ⑥
聯立上面①②③④⑤⑥
解得a=gsinθ-μcosθ-

B2L2v

m(R+r)

當v=2m/s時
a=10×

1

2

-

3

5

×10×

3

2

-

0.52×12×2

0.1×(2+8)

=1.5m/s2
（2）由上問可知 a=gsinθ-μcosθ-

B2L2v

m(R+r)

，故AB做加速度減小的加速運動當a=0．
v=vm=

mg(R+r)(sinθ-μcosθ)

B2L2

=

0.1×10×(2+8)( 1 2 - 3 5 × 3 2 )

0．52×12

=8m/s
（3）從靜止開始到運速運動過程中

.

E

=

△?

△t

⑦

.

I

=

E

R+r

 ⑧
Q=

.

I

?△t⑨
而△?=BlS
聯立⑦⑧⑨可知
∴S=

Q(R+r)

Bl

=

1×(8+2)

0.5×1

=20m
設兩電阻發熱和為Q_R+Q_r
由能量守恒可知 mgSsinθ=

1

2

m

v

2 m

+μmgc0sθ?S+Q_R+Q_r
解得：Q_R：Q_r=R：r⑩
Q_R+Q_r=Q_R+r
聯立 解得QR=

R

R+r

QR+r=

8

8+2

×0.8=0.64J
答：（1）當AB下滑速度為2m/s時加速度的大小1.5m/s²；
（2）AB 下滑的最大速度8m/s；
（3）從靜止開始到AB勻速運動過程R上產生的熱量0.64J．

點評：本題綜合考查了共點力平衡以及能量守恒．關鍵理清導體棒的運動情況，選擇合適的定律進行求解．