Question

一名宇航員在登陸某星球后為了測量此星球的質量進行了如下實驗：他把一小鋼球托舉到距星球表面高度為 h 處由靜止釋放，計時儀器測得小鋼球從釋放到落回星球表面的時間為t．此前通過天文觀測測得此星球的半徑為 R，已知萬有引力常量為G，不計小鋼球下落過程中的氣體阻力，可認為此星球表面的物體受到的重力等于物體與星球之間的萬有引力．求：
（1）此星球表面的重力加速度 g；
（2）此星球的質量 M；
（3）若距此星球表面高 H 的圓形軌道有一顆衛星繞它做勻速圓周運動，求衛星的運行周期 T．

Answer 1

分析：（1）根據h=

1

2

gt2得出星球表面的重力加速度．
（2）根據萬有引力等于重力求出星球的質量．
（3）根據萬有引力提供向心力，結合萬有引力等于重力求出衛星在圓形軌道上運行的周期．

解答：解：（1）由h=

1

2

gt2得，g=

2h

t2

．
（2）根據G

Mm

R2

=mg
解得M=

gR2

G

=

2hR2

Gt2

．
（3）根據萬有引力提供向心力得，G

Mm

(R+H)2

=m(R+H)(

2π

T

)2
又GM=gR²
解得T=

4π2(R+H)3 gR2

．
因為g=

2h

t2

．
所以T=

2π2(R+H)3t2 hR2

．
答：（1）此星球表面的重力加速度g=

2h

t2

．
（2）此星球的質量為

2hR2

Gt2

．
（3）衛星的運行周期為

2π2(R+H)3t2 hR2

．

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用．