Question

如圖所示，質量為0.3kg的小車靜止在足夠長的光滑軌道上，小車下面掛一質量為0.1kg的小球B，在旁邊有一支架被固定在軌道上，支架上O點懸掛一質量也為0.1kg的小球A．兩球球心至懸掛點的距離l也為0.2m，當兩球靜止時剛好相切，兩球球心位于同一水平線上，兩懸線豎直并相互平行．將A球向左拉到圖中虛線所示位置后由靜止釋放與B球相碰，如果碰撞過程中無機械能損失，g=10m/s²，求：
（1）碰撞后B球上升的最大高度；
（2）小車能獲得的最大速度．

Answer 1

分析：（1）A球從靜止開始自由下落到A點的正下方，根據運動學公式求出繩子剛繃直瞬間的速度大小．繃直過程中，A球沿繩子方向的速度突然減小為零，以切向分速度向右做圓周運動，根據機械能守恒定律求出A球到達最低點時的速度．再根據碰撞過程，兩球的動量守恒和機械能守恒可知，由于兩球質量相等，交換速度，再對B球和小車組成的系統運用機械能守恒定律和水平方向動量守恒求解最大高度．
（2）當B球擺回最低點時，小車能獲得的最大速度，對B球和小車組成的系統運用機械能守恒定律和水平方向動量守恒求解小車能獲得的最大速度．

解答：解：（1）如圖所示，A球從靜止開始自由下落到A點的正下方C點時線繃直，設此時速度為v_C，則：

v

2 C

=2g?2lsin30°
解得：v_C=

2gl

=

2×10×0.2

=2m/s
繃直過程中，A球沿繩子方向的速度突然減小為零，A球將以切向分速度向右做圓周運動，切向分速度為：
v₁=v_Ccos30°=1.73m/s
A球從C球運動到最低點，與B球碰撞前機械能守恒，設A球到達最低點時與B球碰撞前的速度為v₂，則：

1

2

mA

v

2 1

+

1

2

mAgl(1-cos60°)=

1

2

mA

v

2 2

解得：v₂=

v 2 1 +gl

=

(1.73)2+10×0.2

=2.24m/s
兩球碰撞過程，遵守動量守恒和機械能守恒，由于兩球質量相等，交換速度，即B獲得速度：v₂=2.24m/s．
再對B球和小車組成的系統，運用機械能守恒定律和水平方向動量守恒，設B上升的最大高度為h．
則有：m_Bv₂=（M+m_B）v

1

2

mB

v

2 2

=

1

2

(M+mB)v2+m_Bgh
聯立解得：h=0.1875m
（2）B球擺回最低點的過程中，懸線仍使小車加速，故當B球擺回最低點時小車獲得的速度最大，設最大速度v_m，B球的速度為v₃，則對B球和小車組成的系統，由機械能守恒定律和水平方向動量守恒得：
m_Bv₂=-m_Bv₃+Mv_m，

1

2

mB

v

2 2

=

1

2

mB

v

2 3

+

1

2

M

v

2 m

解得：v_m=1.12m/s
答：（1）碰撞后B球上升的最大高度是0.1875m；
（2）小車能獲得的最大速度是1.12m/s．

點評：該題是一道綜合題，綜合運用了機械能守恒定律、動量守恒定律，解決本題的關鍵熟練這些定律的運用，容易出錯之處是把B于到達最高點時小車的速度當作最大速度．