Question

重力不計的帶正電的粒子，質量為m，電荷量為q，由靜止開始，經加速電場加速后，垂直于磁場方向進入磁感應強度為B的勻強磁場中做圓周運動，圓心為O，半徑為r．可將帶電粒子的運動等效為一環形電流，環的半徑等于粒子的軌道半徑（若粒子電荷量為q，周期為T，則等效環形電流的電流大小為I=q/T）．
（1）求粒子在磁場中做圓周運動的線速度和等效環形電流的電流大小；
（2）在O點置一固定點電荷A，取適當的加速電壓，使粒子仍可繞O做半徑為r的圓周運動．現使磁場反向，但保持磁感應強度B的大小不變，改變加速電壓，使粒子仍能繞O做半徑為r的圓周運動，兩次所形成的等效電流之差的絕對值為△I．假設兩次做圓周運動的線速度分別為V₁、V₂，試用m、q、r、B、V₁（或V₂）寫出兩次粒子所受庫侖力的表達式，確定A所帶電荷的電性，并用m、q、B寫出△I的表達式．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子進入勻強磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律和向心力公式列式，求出帶電粒子運動的速率，由v=

2πr

T

求出周期，即可由I=

q

T

求得等效電流I．
（2）因粒子帶正電，要在O點置一固定點電荷A，使粒子仍可繞O做半徑為r的圓周運動，電荷A應為負電荷．根據電場力與洛倫茲力的合力提供向心力，并結合等效電流的表達式列式，即可求得△I的表達式．

解答：解：（1）粒子在磁場中勻速圓周運動，有 qVB=m

V2

r

得：V=

qBr

m

又  V=

2πr

T

可得T=

2πm

qB

所以  I=

q

T

=

q2B

2πm

（2）電荷A應為負電荷．否則不可能兩次均繞A做圓周運動．
若庫侖力F和磁場力同向，F+qV1B=m

V 2 1

r

則得 F=m

V 2 1

r

-qV1B
若庫侖力F和磁場力反向，F-qV2B=m

V 2 2

r

則得 F=m

V 2 2

r

+qV2B
又 I1=

q

T1

=

qV1

2πr

  I2=

q

T2

=

qV2

2πr

則得△I=I₁-I₂
由以上可解得：△I=

q2B

2πm

答：
（1）粒子在磁場中做圓周運動的線速度為

qBr

m

，等效環形電流的電流大小為

q2B

2πm

；
（2）A所帶正電荷，△I的表達式為△I=

q2B

2πm

．

點評：本題是理清思路，建立物理模型，關鍵要分析粒子勻速圓周運動所需要的向心力來源，再結合等效電流表達式進行求解即可．