Question

如圖所示，在豎直平面內，虛線MO與水平線PQ相交于O，二者夾角θ=30°，在MO左側存在電場強度為E、方向豎直向下的勻強電場，MO右側某個區域存在磁感應強度為B、垂直紙面向里的勻強磁場，O點處在磁場的邊界上，現有一群質量為m、電量為+q的帶電粒子在紙面內以速度v（0≤v≤

E

B

）垂直于MO從O點射入磁場，所有粒子通過直線MO時，速度方向均平行于PQ向左，不計粒子的重力和粒子間的相互作用力．求：
（1）速度最大的粒子從O開始射入磁場至返回水平線POQ所用的時間．
（2）磁場區域的最小面積．

Answer 1

（1）粒子的運動軌跡如圖所示，設粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的半徑為R，周期為T，粒子在勻強磁場中運動時間為t₁
則 qvB=m

v2

R

解得：R=

mv

qB

    
T=

2πm

Bq

  
t1=

1

3

T  
設粒子自N點水平飛出磁場，出磁場后應做勻速運動至OM，設勻速運動的距離為s，勻速運動的時間為t₂，由幾何關系知：
s=

R

tanθ

 
t2=

s

v

   
過MO后粒子做類平拋運動，設運動的時間為t₃，
則：

3

2

R=

1

2

qE

m

t32   
又由題知：v=

E

B

則速度最大的粒子自O進入磁場至重回水平線POQ所用的時間為：
t=t₁+t₂+t₃=

2(3 3 +π)

3

m

qB

 （2）由題知速度大小不同的粒子均要水平通過OM，則其飛出磁場的位置均應在ON的連線上，故磁場范圍的最小面積△S是速度最大的粒子在磁場中的軌跡與ON所圍成的面積，
扇形OO′N的面積的面積S=

1

3

πR2
△OO′N的面積為：S′=R²cos30°sin30°=

3

4

R2
△S=S-S′
解得：△S=(

4π-3 3

12

)

m2E2

q2B4

答：（1）速度最大的粒子從O開始射入磁場至返回水平線POQ所用的時間為

2(3 3 +π)

3

m

qB

．
（2）磁場區域的最小面積為(

4π-3 3

12

)

m2E2

q2B4

．