Question

物體A從距離地面某高度處由靜止開始下落，落地時速度剛好等于地球的第一宇宙速度．已知地球半徑為R，以無窮遠為零勢能面，物體在距地球球心為r（r≥R）的位置處重力勢能為E_p=-

GMπ

r

（其中M為地球質量，m為物體的質量），不計物體運動中所受的阻力，則物體A從距地面多高處下落？（　　）

• A、R
• B、2R
• C、3R
• D、4R

Answer 1

分析：物體A從距離地面某高度處由靜止開始下落，不計物體運動中所受的阻力，下落過程機械能守恒．重力勢能減小，動能增加．達到第一宇宙速度時，牛頓第二定律可得此時的動能，進而可得到此時的機械能的總量，進而可得物體剛剛下落時的機械能的總量，也就是下落時的重力勢能，據此可解物體下落時的高度．

解答：解：設第一宇宙速度為v，由牛頓第二定律可得：

GMm

R2

=

mv2

R

故有：E_k=

1

2

mv²=

GMm

2R

物體在地球表面的重力勢能為：E_p=-

GMm

R

故此時物體的機械能總量為：E=E_k+E_P=-

GMm

2R

所以，設物體下落高度為h，則有：-

GMm

(R+h)

=-

GMm

2R

故有：h=R，故A正確，BCD錯誤；
故選：A

點評：關鍵知道下落過程機械能守恒，結合第一宇宙速度的動力學方程得到動能表達式，利用重力勢能的表達式聯合求解，難度不大