Question

如圖所示，MNPQ是一個足夠長的處于豎直平面內的固定的金屬框架，框架的寬度為L，電阻忽略不計．ab是一根質量為m，有一定電阻的導體，能緊貼框架無摩擦下滑，整個框架平面處于垂直于框架平面的勻強磁場中，磁感強度為B．當單刀雙擲開關S置于1位置時，導體ab恰好靜止在框架的某一處．已知電源的電動勢為ε，內阻為r．
（1）勻強磁場的方向如何？
（2）當開關S置于2位置時，導體ab由靜止開始下落，試寫出ab下落運動的分析過程，并用所給的物理量表達ab在下落過程中的最大速度．
（3）ab達到最大速度的1/2時，其加速度大小是多大？此時ab兩端的電壓為多少？
（4）如果ab由靜止開始下落到達到最大速度所用的時間為t，下落高度為h．試推導則該過程中h和t應滿足的不等式關系？

Answer 1

（1）由左手定則判斷得知：磁場方向垂直紙面向內
（2）S接1時，mg=F=BIL=B

ε

R+r

L  ①
S接2時，剛開始ab下落的加速度為g，接著加速運動、同時受重力和安培力作用，由牛頓第二定律得：mg-F=ma
隨著的υ的增大，感應電場也隨著增大，感應電流也增大，從而使F增大而導致速度a的減小，最終達到和重力的平衡而做勻速運動，因而有：mg=F=BIL=

B2L2 υ  m

R

②
由①得R代入②整理后得：υ_m=

ε

BL

-

mgr

B2L2

（3）由②可知，當ab達到最大速度的

1

2

時，安培力F=

1

2

mg，因此有：
   mg-F=ma
解得，a=

1

2

g．
又因為，ab切割磁感線產生感應電動勢，其電阻相當于電源內阻，而據題意，框架電阻不計，因而外電阻為0，從而使ab兩端的電壓（端電壓）為0．
（4）作出ab運動過程的υ-t圖線：
ab初始加速度為g，即圖線在原點的切線斜率為g．運動過程下落距離h即為圖線曲線部分所包的“面積”，它介于圖示“梯形面積”和“三角形面積”之間．
故有：

1

2

υm(2t-

υm

g

)＞h＞

1

2

υmt，
將（2）中求的υ_m值代入得：

1

2

(

ε

BL

-

mgr

B2L2

)(2t-

ε

BLg

+

mr

B2L2

)＞h＞

1

2

(

ε

BL

-

mgr

B2L2

)t
答：
（1）勻強磁場的方向垂直紙面向內；
（2）S接2時，剛開始ab下落的加速度為g，接著加速運動、同時受重力和安培力作用，由牛頓第二定律得：mg-F=ma，隨著的υ的增大，感應電場也隨著增大，感應電流也增大，從而使F增大而導致速度a的減小，最終達到和重力的平衡而做勻速運動，ab在下落過程中的最大速度為

ε

BL

-

mgr

B2L2

．
（3）ab達到最大速度的

1

2

時，其加速度大小是

1

2

g，此時ab兩端的電壓為0．
（4）該過程中h和t應滿足的不等式關系為：

1

2

(

ε

BL

-

mgr

B2L2

)(2t-

ε

BLg

+

mr

B2L2

)＞h＞

1

2

(

ε

BL

-

mgr

B2L2

)t