Question

如圖，P、Q為某地區(qū)水平地面上的兩點(diǎn)，在P點(diǎn)正下方一球形區(qū)域內(nèi)儲(chǔ)藏有石油。假定區(qū)域周圍巖石均勻分布，密度為ρ；石油密度遠(yuǎn)小于ρ，可將上述球形區(qū)域視為空腔。如果沒有這一空腔，則該地區(qū)重力加速度（正常值）沿豎直方向；當(dāng)存在空腔時(shí)，該地區(qū)重力加速度的大小和方向會(huì)與正常情況有微小偏離。重力加速度在原豎直方向（即PO方向）上的投影相對于正常值的偏離叫做“重力加速度反常”。為了探尋石油區(qū)域的位置和石油儲(chǔ)量，常利用P點(diǎn)附近的重力加速度反常現(xiàn)象。已知引力常數(shù)為G。⑴設(shè)球形空腔體積為V，球心深度為d（遠(yuǎn)小于地球半徑），，求空腔所引起的Q點(diǎn)的重力加速度反常。⑵若在水平地面上半徑為L的范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)：重力加速度反常值在δ與kδ（k>1）之間變化，且重力加速度反常的最大值出現(xiàn)在半徑為L的范圍的中心，如果這種反常是由于地下存在某種球形空腔造成的，試求此球形空腔球心的深度和空腔的體積。

Answer 1

（1）（2）,

解析:

本題考查萬有引力部分的知識。

(1)如果將近地表的球形空腔填滿密度為的巖石，則該地區(qū)重力加速度便回到正常值。因此，重力加速度反常可通過填充后的球形區(qū)域產(chǎn)生的附加引力………①來計(jì)算，式中的m是Q點(diǎn)處某質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量,M是填充后球形區(qū)域的質(zhì)量,……………②

而r是球形空腔中心O至Q點(diǎn)的距離………③在數(shù)值上等于由于存在球形空腔所引起的Q點(diǎn)處重力加速度改變的大小。Q點(diǎn)處重力加速度改變的方向沿OQ方向，重力加速度反常是這一改變在豎直方向上的投影………④聯(lián)立以上式子得

,…………⑤

(2)由⑤式得,重力加速度反常的最大值和最小值分別為……⑥

……………⑦由提設(shè)有、……⑧

聯(lián)立以上式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的體積分別為

,