Question

（2005?浦東新區二模）如圖甲所示，A和B是長為L、間距為d的平行金屬板，靶MN垂直固定在它們的右端．在A、B板上加上方形波電壓，如圖乙所示．電壓的正向值為U₀，反向值為

UO

2

，周期為T．現有質量為m、帶電量為+q的粒子連續從AB的中點O以平行于金屬板的方向射入．設所有粒子都能穿過電場打到靶上，而且每個粒子在AB間的飛行時間均為T，不計粒子重力的影響．試問：

（1）粒子射入平行金屬板時的速度多大？
（2）t=

T

2

時刻入射的粒子打到靶上的位置距靶中心點O’多遠？
（3）t=

T

2

時刻入射的粒子打到靶上時動能多大？

Answer 1

分析：（1）粒子在電場中受到豎直向下的電場力，水平方向不受力而做勻速直線運動，由T=

L

v

可求速度；
（2）入射的粒子打到靶上的位置距靶中心點O′多遠與粒子豎直方向的分位移有關．分析粒子在豎直方向的運動：

T

2

～T時間內，粒子向上作初速為零的勻加速運動，在T～

3

2

T時間內，由于此時的加速度大小a′=2a，所以粒子先向上減速后向下加速，根據牛頓第二定律和運動學公式結合求豎直方向的總位移，即可確定粒子打到靶上的位置；
（3）運用運動學速度公式，求出粒子豎直方向的分速度，再由速度的合成求出的粒子打到靶上時動能．

解答：解：（1）粒子在水平方向粒子作勻速直線運動，則有：v₀=

L

T

（2）在豎直方向，從

T

2

～T時間內，粒子向上作初速為零的勻加速運動，有
  a=

q U0 2

md

=

qU0

2md

則粒子豎直方向上的位移 s₁=

1

2

a(

T

2

)2=

qU0T2

16md

粒子在T～

3

2

T時間內，由于此時的加速度大小a′=2a，所以粒子先向上減速后向下加速，此階段豎直方向的位移s₂=0．
綜上所述，有豎直方向上總位移  s_總=s₁+s₂=

qU0T2

16md

（3）在豎直方向，從

T

2

～T時間內，有
  v_y1=a?

T

2

=

qU0T

4md

在

T

2

～T時間內，粒子以加速度a′=2a向上作類豎直上拋運動，有
  v_y2=v_y1-a′?

T

2

=

qU0T

4md

-

qU0

md

?

T

2

=-

qU0T

4md

帶電粒子在水平方向一直作勻速直線運動，所以帶電粒子穿過電場后打到靶上的動能為
 E_k=

1

2

m(

v

2 0

+

v

2 y2

)=

1

2

m(

L2

T2

+

q2 U 2 0 T2

16m2d2

)=

mL2

2T2

+

q2 U 2 0 T2

32md2

=

16m2d2L2+q2 U 2 0 T4

32md2T2

答：
（1）粒子射入平行金屬板時的速度為

L

T

．
（2）t=

T

2

時刻入射的粒子打到靶上的位置距靶中心點O′是

qU0T2

16md

．
（3）t=

T

2

時刻入射的粒子打到靶上時動能為

16m2d2L2+q2 U 2 0 T4

32md2T2

．

點評：本題是粒子在周期性變化的電場中運動，分析帶電粒子的運動情況是關鍵，并能運用牛頓第二定律和運動學結合進行求解．