Question

蛇形擺是一個用于演示單擺周期與擺長關系的實驗儀器（見圖）．若干個擺球位于同一高度并等間距地排成一條直線，它們的懸掛點在不同的高度上，擺長依次減小．設重力加速度 g=9.80m/s²，
（1）試設計一個包含十個單擺的蛇形擺（即求出每個擺的擺長），要求滿足：（ a ）每個擺的擺長不小于 0.450m，不大于1.00m；   （ b ）初始時將所有擺球由平衡點沿 x 軸正方向移動相同的一個小位移 xo （ xo＜＜0.45m ），然后同時釋放，經過 40s 后，所有的擺能夠同時回到初始狀態．
（2 ）在上述情形中，從所有的擺球開始擺動起，到它們的速率首次全部為零所經過的時間為

 

．

Answer 1

分析：（1）應用單擺周期公式求出滿足條件的擺長，完成設計．
（2）擺球在最大位移處時速率為零，從計時開始，需要的時間是半個周期的整數倍．

解答：解：（1）設第n個單擺的擺長為Li，由條件b可知每個單擺的周期必須是40s的整數分之一，
即：T_i=2π

Li g

=

40

Ni

（N_i為正整數）①，
由①可知，各單擺的擺長L_i=

400g

π2 N 2 i

，
由題意可知，0.450m≤L_i≤1.00m，由此可知：

20

π

g

＜N_i＜

20

π

g 0.45

，
即：20≤N_i≤29，則第i個單擺的擺長L_i=

400g

π2(19+i)2

（i=1、2、3、…、10）

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Li/m	0.993	0.901	0.821	0.751	0.690	0.635	0.588	0.545	0.507	0.472

（2）擺球在最大位移處時速率為零，從計時開始，需要的時間是半個周期的整數倍，
從所有的擺球開始擺動起，到它們的速率首次全部為零所經過的時間為20s；
故答案為：（1）每個擺的擺長如上表所示；（2）20s．

點評：本題考查了求單擺擺長、求擺球速度為零需要的時間，根據題目要求、應用單擺周期公式即可正確解題；解題時要注意數學知識的應用，應用數學知識解決物理問題是本題正確解題的關鍵，也是本題的難點所在．