Question

（2012?海淀區模擬）如圖所示，有 n（n＞10）個相同的小物塊（可視為質點）靜止在傾角為 θ 的傾斜軌道上，物塊與軌道間的動摩擦因數均為 μ．每個物塊的質量均為 m，相鄰物塊間的距離均為 l，最下端的物塊到軌道底端的距離也為 l．使第1個物塊以某一初速度 v₀沿軌道開始下滑，在每次發生碰撞時物塊都立即粘合在一起運動，最后n 個物塊粘在一起后恰好停在軌道的底端．已知空氣阻力可忽略不計，重力加速度為g．
（1）求第一次碰撞前瞬間小物塊1的速度v₁的大小；
（2）設第5次碰撞前的瞬間運動物塊的動能為E_k5，第5次碰撞過程中系統損失的機械能為E_損5，求E_損5和E_k5的比值；
（3）求下滑的整個過程中由于相互碰撞而損失的機械能．

Answer 1

分析：（1）對于物塊1下滑l的過程，由動能定理列式即可求得v₁的大小；
（2）設第5次碰撞前，5個物塊一起運動的速度大小為v₅，對第5次碰撞，由動量守恒定律列式，根據動能的表達式寫出碰撞前運動物塊的動能，進而求出碰撞過程中系統損失的機械能即可求解；
（3）求出n個木塊運動和碰撞的全過程中重力做的總功和克服摩擦做的總功，根據做功與能量變化的關系列式即可求解．

解答：解：（1）對于物塊1下滑l的過程，由動能定理得mglsinθ-μmglcosθ=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

得  v1=

v 2 0 +2gl(sinθ-μcosθ)

（2）設第5次碰撞前，5個物塊一起運動的速度大小為v₅，對第5次碰撞，由動量守恒定律有  5mv₅=（5m+m）v'₅
碰撞前運動物塊的動能為E_k5=

1

2

×5m

v

2 5

碰撞過程中系統損失的機械能為E_損5=

1

2

×5m

v

2 5

-

1

2

×6mv

′

2 5

解得

E損5

Ek5

=

1

6

              
（3）對n個木塊運動和碰撞的全過程
重力做的總功WG=mglsinθ(1+2+3+…+n)=

n(n+1)

2

mglsinθ
克服摩擦做的總功Wf=μmgcosθ?l(1+2+3+…+n)=

n(n+1)

2

μmglcosθ
設整個過程中由于相互碰撞而損失的機械能為E_損總，則根據做功與能量變化的關系有WG+

1

2

mv02=Wf+E損總
由以上各式求出  E損總=

1

2

mv02+

n(n+1)

2

mgl(sinθ-μcosθ)
答：（1）第一次碰撞前瞬間小物塊1的速度v₁的大小為

v 2 0 +2gl(sinθ-μcosθ)

；
（2）E_損5和E_k5的比值為

1

6

；
（3）下滑的整個過程中由于相互碰撞而損失的機械能為

1

2

mv02+

n(n+1)

2

mgl(sinθ-μcosθ)．

點評：本題主要考查了動能定理、動量守恒定律及功能關系的直接應用，過程較為復雜，難度適中．