Question

 下圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內的二個圓形軌道組成，Ｂ、C分別是二個圓形軌道的最低點， BC 間距L=12.5m，第一圓形軌道半徑R₁=1.4m。一個質量為kg的小球（視為質點），從軌道的左側A點以的初速度沿軌道向右運動。小球與水平軌道間的動摩擦因數，圓形軌道是光滑的。假設水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊。計算結果保留小數點后一位數字。試求

   （1）如果小球恰能通過第一圓形軌道，AB間距L₁應是多少；  

（2）在滿足（1）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第二個圓形軌道的設計中，半徑R₂的可變范圍；

（3）小球最終停留點與起點A的距離。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）設小球經過第一個圓軌道的最高點時的速度為v₁==m/s

根據動能定理

                    

                  L₁=18.5m                      (  2分 )

                                    

   （2）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進行討論：

I．軌道半徑較小時，小球恰能通過第二個圓軌道，設在最高點的速度為v₂，應滿足

                                                          

                                

                                                (  2分 )

II．軌道半徑較大時，小球上升的最大高度為R₂，根據動能定理

                

解得                                             (  2分 )

為了保證圓軌道不重疊，R₂最大值應滿足

                  

解得               R₂=27.9m                                 (  2分 )

綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個圓軌道的半徑須滿足下面的條件

                                                (  1分 )

或                                        (  1分 )

當時，小球最終停留點與起始點A的距離為L′，則

               

                                                  (  2分 )         

當時，小球最終停留點與起始點A的距離為L〞，則

                               (  2分 )