Question

如圖所示，勁度系數為k的輕彈簧，右端連在豎直墻面上，左端連著不帶電的絕緣小球B，開始時B球靜止在光滑絕緣水平面上．整個裝置處在場強大小為E、方向水平向右的勻強電場中．現把一質量為m、帶電荷量為+q的小球A，從距B球s處自由釋放，A將與B發生正碰．碰撞中無機械能損失，且A球的電荷量始終不變．已知B球的質量M=2m，B球被碰后作簡諧運動，其運動周期（A、B小球均可視為質點）．求：
（1）A球與B球第一次相碰前A的速度大小；
（2）兩球第一次碰后瞬間，A球的速度v₁和B球的速度v₂；
（3）要使A球與B球第二次仍在B球的初始位置相碰，彈簧勁度系數k的可能取值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據動能定理求解A球與B球第一次相碰前A的速度大小；
（2）A與B碰撞中無機械能損失，根據動量守恒和動能守恒求出碰后瞬間A球的速度v₁和B球的速度v₂；
（3）兩球碰撞后，B球作簡諧運動，A球先向左做減速運動又向右作加速運動，要使A球與B球第二次仍在B球的初始位置相碰，分析得出兩球運動時間與B的周期關系，運用動量定理研究A的運動過程，求解彈簧勁度系數k的可能取值．
解答：解：（1）設A球與B球第一次碰撞前瞬間的速度為v，由動能定理得：
  
解得：
（2）由于碰撞過程極短，系統的動量守恒：
   mv=mv₁+Mv₂
碰撞過程中無機械能損失，則有：
聯立解得：，負號表示方向向左，，方向向右．
（3）因|v₁|＜v₂，要使m與M第二次碰撞仍發生在原位置，則只能是迎面相碰，所用的時間t滿足：（n=0，1，2，3…）
A球在電場中受電場力作用向左做減速運動至速度為0后又向右作加速運動：qEt=m（-v₁）-mv₁
由題知：
解得：（n=0，1，2，3…）
答：
（1）A球與B球第一次相碰前A的速度大小為；
（2）兩球第一次碰后瞬間，A球的速度v₁和B球的速度v₂分別為，負號表示方向向左，，方向向右．
（3）要使A球與B球第二次仍在B球的初始位置相碰，彈簧勁度系數k的可能取值為：（n=0，1，2，3…）．
點評：本題是多過程問題，采用程序法按時間順序研究．無機械能損失的碰撞稱為彈性碰撞，遵守動量和機械能兩大守恒．對于B的簡諧運動是抓住周期性，不能漏解．