Question

5．如圖所示，真空中的矩形abcd區域內存在豎直向下的勻強電場，半徑為R的圓形區域內同時存在垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，圓形邊界分別相切于ad、bc邊的中點e、f．一帶電粒子以初速度v₀沿著ef方向射入該區域后能做直線運動；當撤去磁場并保留電場，粒子以相同的初速度沿著ef方向射入恰能從c點飛離該區域．已知ad=bc=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$R，忽略粒子的重力．求：
（1）帶電粒子的電荷量q與質量m的比值$\frac{q}{m}$；
（2）若撤去電場保留磁場，求粒子離開矩形區域時的位置與b點的距離．

Answer 1

分析 （1）本題先分析帶電粒子的運動情況，并把握每個過程遵守的規律：未撤去磁場時，帶電粒子做勻速直線運動，電場力與洛倫茲力平衡；撤去磁場后，帶電粒子做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運動，已知水平距離x=2R，豎直距離y=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R，根據牛頓第二定律和運動學公式結合求出比荷．
（2）若撤去電場保留磁場，粒子將在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，由牛頓第二定律可求得軌跡半徑，畫出軌跡，由幾何關系求出粒子離開矩形區域時的位置．

解答 解：（1）設勻強電場強度為E，當電場和磁場同時存在時，
粒子沿ef方向做直線運動，有：qv₀B=qE，
當撤去磁場，保留電場時，帶電粒子做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，
豎直方向做初速度為零的勻加速直線運動，由題，粒子恰能從c點飛出，
則 水平方向有：2R=v₀t，豎直方向有：$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{2}$at²，
由牛頓第二定律得：qE=ma，解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{3BR}$；
（2）若撤去電場保留磁場，粒子將在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，軌跡如圖所示．
設粒子離開矩形區域時的位置g離b的距離為x，則由牛頓第二定律：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：r=$\sqrt{3}$R，
由圖中幾何關系得，粒子的軌跡半徑為：r=Rtanθ=$\sqrt{3}$R，解得：θ=60°，
故粒子離開磁場時到b的距離為：x=$\frac{1}{2}$ab-$\frac{1}{2}$bc•cotθ，解得：x=$\frac{R}{3}$；
答：（1）帶電粒子的電荷量q與質量m的比值$\frac{q}{m}$為$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{3BR}$；
（2）若撤去電場保留磁場，求粒子離開矩形區域時的位置與b點的距離為$\frac{R}{3}$．

點評 本題中帶電粒子在復合場中運動，分析受力情況和運動情況是基礎，磁場中關鍵畫出軌跡，運用幾何知識求解軌跡半徑．