Question

如圖所示，在xOy坐標系的第Ⅰ象限內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度為B，在x＞0軸上有一平面熒光屏，在y軸上距坐標原點O為L的S處有一粒子源，在某時刻同時發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0～180°范圍內(nèi)．觀察發(fā)現(xiàn)：熒光屏OP之間發(fā)光，P點右側(cè)任何位置均不發(fā)光，在P、Q之間的任一位置會先后二次發(fā)光；O、Q之間的任一位置只有一次發(fā)光，測出O、P間距為

3

L，不考慮粒子間的相互作用和粒子所受重力，求：
（1）粒子發(fā)射時的速度大小；
（2）Q點先后發(fā)光的時間間隔．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，使其做勻速圓周運動，并由最長的弦是圓的直徑，并結(jié)合幾何關(guān)系可得出粒子的速度大小；
（2）根據(jù)題意可分劣圓弧與優(yōu)圓弧，從而由幾何關(guān)系來確定已知長度與半徑的關(guān)系，并由周期公式可求出Q點先后發(fā)光的時間間隔．

解答：解：（1）由于洛倫茲力提供向心力，根據(jù)qvB=m

v2

r

，
解得：v=

mr

Bq

所以每個粒子在勻強磁場中做圓周運動，半徑相同．而x軸的任一亮點與S的連線為圓的弦長，由于P點是粒子到達x軸上最遠點，
因此SP的連線為圓的最大弦長，即圓的直徑．則

.

SP

=2r，
根據(jù)幾何關(guān)系：

.

SP

2=

.

OS

2+

.

OP

2 
解得r=L
∵L=

mv

Bq

∴v=

BLq

m

（2）aS連線與SP連線垂直，在∠aSO范圍內(nèi)發(fā)射粒子運動一段劣圓弧可以到達OP間任何一位置，
在∠aSy范圍內(nèi)發(fā)射粒子運動一段優(yōu)圓弧能到達OP間任何一位置，設(shè)粒子發(fā)射方向與y軸成θ角時，運動圓軌跡恰好與x軸的Q點相切．
根據(jù)幾何關(guān)系，L=r+rsinθ

.

OQ

=rcosθ
∵θ=0°

.

OQ

=L
∴t=

Mθ

Bq

∵粒子沿優(yōu)圓弧運動到達Q點的時間t2=

3πm

2qB

粒子沿劣圓弧運動到達Q點的時間t1=

πm

2qB

∴△t=t2-t1=

πm

qB

答：（1）粒子發(fā)射時的速度大小

BLq

m

；
（2）Q點先后發(fā)光的時間間隔

πm

qB

．

點評：考查牛頓第二定律，向心力公式，并突出幾何關(guān)系在本題的應用，同時注重對運動軌跡的分析，利用圓的特性來解題是本題的突破口．