Question

如圖所示，光滑水平地面上停放著一輛質(zhì)量為M的小車(chē)，小車(chē)的左側(cè)靠在豎直墻壁上，半徑為R的四分之一光滑圓弧軌道AB的最低點(diǎn)B與水平軌道BD平滑相接，車(chē)的右端固定有一個(gè)輕質(zhì)彈簧，水平軌道BC段粗糙，CD段光滑．現(xiàn)有一可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m物塊從A點(diǎn)正上方h=R處無(wú)初速度下落，恰好落入小車(chē)沿圓軌道滑動(dòng)，然后沿水平軌道滑行，與彈簧相接觸并壓縮彈簧，最后又返回到B相對(duì)于車(chē)靜止．已知M=3m，物塊與水平軌道BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，不考慮空氣阻力和物塊落入圓弧軌道時(shí)的能量損失．求
（1）物塊下落后由A滑至B處時(shí)，對(duì)軌道的壓力大小；
（2）水平軌道BC段的長(zhǎng)度；
（3）壓縮彈簧過(guò)程中，彈簧所具有的最大彈性勢(shì)能．

Answer 1

分析：（1）物塊從開(kāi)始下落到水平軌道B處的過(guò)程中，小車(chē)不動(dòng)，物塊的機(jī)械守恒，由機(jī)械能守恒定律求出到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小．物塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道支持力的合力提供向心力，由牛頓定律求出對(duì)軌道的壓力大小；
（2）物塊在小車(chē)上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小車(chē)向右運(yùn)動(dòng)，物塊與小車(chē)組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出共同的速度，由能量守恒定律求解BC段的長(zhǎng)度；
（3）物塊滑上水平軌道至將彈簧壓縮至最短的過(guò)程中，對(duì)系統(tǒng)由動(dòng)量守恒和能量守恒求解彈簧所具有的最大彈性勢(shì)能．

解答：解：（1）物塊從靜止釋放至B的過(guò)程中小車(chē)不動(dòng)，對(duì)物體由機(jī)械能守恒定律有：
mg（h+R）=

1

2

m

v

2 B

…①
解得：v_B=2

gR

…②
在B處時(shí)，由牛頓第二定律有：N-mg=m

v 2 B

R

…③
解得：N=5mg…④
（2）物塊滑上水平軌道至B與小車(chē)相對(duì)靜止的過(guò)程中，對(duì)系統(tǒng)由動(dòng)量守恒和能量守恒有：
mv_B=（m+M）v_共…⑤
 

1

2

m

v

2 B

=

1

2

(M+m)

v

2 共

+2μmgL…⑥
解得：L=

3R

4μ

…⑦
（3）物塊滑上水平軌道至將彈簧壓縮至最短的過(guò)程中，對(duì)系統(tǒng)由動(dòng)量守恒和能量守恒有：
 mv_B=（m+M）v′_共…⑧

1

2

m

v

2 B

=

1

2

(M+m)v

′

2 共

+μmgL+E_pmax…⑨
解得：E_pmax=

3

4

mgR…⑩
答：（1）物塊下落后由A滑至B處時(shí)，對(duì)軌道的壓力大小是5mg；
（2）水平軌道BC段的長(zhǎng)度是

3R

4μ

；
（3）壓縮彈簧過(guò)程中，彈簧所具有的最大彈性勢(shì)能是

3

4

mgR．

點(diǎn)評(píng)：本題首先要分析物理過(guò)程，確定研究對(duì)象，其次要把握解題的規(guī)律，運(yùn)用用機(jī)械能守恒、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)量守恒和能量守恒結(jié)合研究，難度適中．