Question

某球形天體的密度為ρ₀，引力常量為G．

   （1）證明對環繞密度相同的球形天體表面運行的衛星，運動周期與天體的大小無關．（球的體積公式為，其中R為球半徑）

   （2）若球形天體的半徑為R，自轉的角速度為，表面周圍空間充滿厚度（小于同步衛星距天體表面的高度）、密度ρ=的均勻介質，試求同步衛星距天體表面的高度．

Answer 1

解析：（1）設環繞其表面運行衛星的質量為m，運動周期為T，球形天體半徑

為R，天體質量為M，由牛頓第二定律有                                 

                                                    ①           （2分）

而                                                      ②           （1分）

由①②式解得 ，可見T與R無關，為一常量．              （1分）

   （2）設該天體的同步衛星距天體中心的距離為r，同步衛星的的質量為m₀，則有

                                             ③           （2分）

而                                           ④           （2分）

由②③④式解得                                                            （1分）

則該天體的同步衛星距表面的高度                    （1分）