Question

（2013?商丘二模）如圖所示，K是粒子發(fā)生器，D₁、D₂、D₃是三塊擋板，通過(guò)自動(dòng)控制裝置可以控制它們定時(shí)開(kāi)啟和關(guān)閉，D₁、D₂的間距為L(zhǎng)，D₂、D₃的間距為

L

2

．在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系Oxy中有一磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，y軸和直線MN是它的左、右邊界，且MN平行于y軸．現(xiàn)開(kāi)啟擋板D₁、D₃，粒子發(fā)生器僅在t=O時(shí)刻沿x軸正方向發(fā)射各種速率的粒子，D₂僅在t=nT（n=0、1、2…，T為一定值）時(shí)刻開(kāi)啟，在t=5T時(shí)刻，再關(guān)閉擋板D₃，使粒子無(wú)法進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域．已知擋板的厚度不計(jì)，粒子質(zhì)量為m、電荷量為+q（q大于0 ），不計(jì)粒子的重力，不計(jì)粒子間的相互作用，整個(gè)裝置都放在真空中．
（1）求能夠進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的粒子速度大小．
（2）已知從原點(diǎn)O進(jìn)入磁場(chǎng)中速度最小的粒子經(jīng)過(guò)坐標(biāo)為（0cm，2cm）的P點(diǎn)，應(yīng)將磁場(chǎng)的右邊界MN在Oxy平面內(nèi)如何平移，才能使從原點(diǎn)O進(jìn)入磁場(chǎng)中速度最大的粒子經(jīng)過(guò)坐標(biāo)為（3

3

cm，6cm）的Q點(diǎn)？

Answer 1

分析：（1）粒子必須在D₃關(guān)閉前進(jìn)入磁場(chǎng)才行，粒子由D₁到D₂和由D₂到D₃都是勻速直線運(yùn)動(dòng)，可得運(yùn)動(dòng)時(shí)間表達(dá)式，兩段時(shí)間之和應(yīng)小于等于5T，可解得能夠進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的粒子的速度．
（2）由進(jìn)入磁場(chǎng)中速度最小的粒子經(jīng)過(guò)坐標(biāo)為（0cm，2cm）的P點(diǎn)可確定其軌道半徑，進(jìn)而確定最小速度；由（1）得到的速度表達(dá)式，可得最大速度，由速度關(guān)系可確定速度最大粒子的半徑，做出運(yùn)動(dòng)軌跡圖，由幾何關(guān)系來(lái)判定該如何移動(dòng)磁場(chǎng)的右邊界MN．

解答：解：
（1）設(shè)能夠進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的粒子速度大小為v_n，由題意，粒子由D₁到D₂經(jīng)歷的時(shí)間為：
△t₁=

L

vn

=nT（n=1、2…），
粒子由D₂到D₃經(jīng)歷的時(shí)間為：
△t₂=

L

2vn

=

nT

2

，
t=5T時(shí)刻，擋板D₃關(guān)閉，粒子無(wú)法進(jìn)入磁場(chǎng)，故有：
△t=△t₁+△t₂≤5T，
聯(lián)立以上三式解得：
n=1、2、3．
所以，能夠進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的粒子的速度為：
vn=

L

nT

（ n=1、2、3）．
（2）進(jìn)入磁場(chǎng)中速度最小的粒子能經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，可知此時(shí)半徑最小為R=1cm．而：
qvB=

mv2

R

，
所以，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：
R=

mv

qB

．
由前可知，進(jìn)入磁場(chǎng)粒子的最大速度為最小速度的3倍，故：
R'=3R=3cm，
其圓心坐標(biāo)E（0，3m），如圖所示，粒子應(yīng)從F點(diǎn)沿切線方向離開(kāi)磁場(chǎng)到達(dá)Q點(diǎn)．

設(shè)∠GQE=θ，則：
tanθ=

3

3 3

=

3

3

，θ=30°，
由幾何知識(shí)可知，∠HFE=θ=30°，
所以：
HF=R'cos30°=

3 3

2

cm．                    
因此，只要將磁場(chǎng)邊界的MN平移到F點(diǎn)，速度最大的粒子在F點(diǎn)穿出磁場(chǎng)，將沿圓軌跡的切線方向到達(dá)Q點(diǎn)．       
答：（1）能夠進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的粒子速度大小為：vn=

L

nT

（ n=1、2、3）．
（2）已知從原點(diǎn)O進(jìn)入磁場(chǎng)中速度最小的粒子經(jīng)過(guò)坐標(biāo)為（0cm，2cm）的P點(diǎn)，將磁場(chǎng)邊界的MN平移到F點(diǎn)，才能使從原點(diǎn)O進(jìn)入磁場(chǎng)中速度最大的粒子經(jīng)過(guò)坐標(biāo)為（3

3

cm，6cm）的Q點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：該題的關(guān)鍵點(diǎn)在于做速度最大粒子的軌跡圖，帶點(diǎn)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，在混合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題，最重要的就是做運(yùn)動(dòng)軌跡圖，做這種圖首先要能確定半徑，其次要確定初末速度的方向．