Question

（2013?合肥一模）如圖甲所示，一端封閉的兩條足夠長平行光滑導軌固定在水平面上，相距L，其中寬為L的abdc區域無磁場，cd右段區域存在勻強磁場，磁感應強度為B₀，磁場方向垂直于水平面向上；ab左段區域存在寬為L的均勻分布但隨時間線性變化的磁場B，如圖乙所示，磁場方向垂直水平面向下．一質量為m的金屬棒ab，在t=0的時刻從邊界ab開始以某速度向右勻速運動，經時間

t0

3

運動到cd處．設金屬棒在回路中的電阻為R，導軌電阻不計．

（1）求金屬棒從邊界ab運動到cd的過程中回路中感應電流產生的焦耳熱量Q；
（2）經分析可知金屬棒剛進入cd右段的磁場時做減速運動，求金屬棒在該區域克服安培力做的功W．

Answer 1

分析：（1）金屬棒從邊界ab運動到cd的過程中，穿過回路的磁通量均勻增加，產生恒定的感應電流，根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律和焦耳定律求解焦耳熱．
（2）金屬棒剛進入磁場時的速度為v=

L

1 3 t0

，切割磁感線產生的感應電動勢為E=B₀Lv，金屬棒剛進入cd右段的磁場時做減速運動，可判斷出感生電動勢與動生電動勢的大小，判斷出金屬棒的運動情況，金屬棒最終做勻速運動，速度不再變化，求出勻速運動的速度，再根據功能關系求出金屬棒在該區域克服安培力做的功W．

解答：解：（1）因磁場變化在回路中產生的感應電動勢為：
E₁=

△Φ

△t

=L²

△B

△t

=

B0L2

t0

．
感應電流為：I1=

E1

R

=

B0L2

Rt0

金屬棒從邊界ab運動到cd的過程中產生的焦耳熱為：
Q=

I

2 1

Rt=(

B0L2

Rt0

)2?

t0

3

=

B 2 0 L4

3Rt0

（2）金屬棒剛進入磁場時的速度大小為：v₀=

L

1 3 t0

=

3L

t0

．
金屬棒切割磁感線產生的感應電動勢為：E₂=B₀Lv
因E₁與E₂在回路中方向相反，因金屬棒剛進入cd右段的磁場時做減速運動，說明E₂＞E₁，回路中的總電動勢為：
E=E₂-E₁=B₀Lv-

B0L2

t0

隨著棒的速度減小，總電動勢E減小，當E=0后，回路中無感應電流，棒做勻速運動，動能不再變化，則最終速度設為，由B₀Lv-

B0L2

t0

=0，得：v=

L

t0

金屬棒在該區域克服安培力做的功W等于動能的減少，即：
W=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

mv2=

4mL2

t 2 0

答：（1）金屬棒從邊界ab運動到cd的過程中回路中感應電流產生的焦耳熱量Q為

B 2 0 L4

3Rt0

；
（2）經分析可知金屬棒剛進入cd右段的磁場時做減速運動，金屬棒在該區域克服安培力做的功W是

4mL2

t 2 0

．

點評：當回路中磁通量均勻變化時，回路中產生的感應電動勢和感應電流均恒定，由法拉第電磁感應定律研究感應電動勢是關鍵，第3問中，既感生電動勢，又動生電動勢，兩個電動勢方向相反，要進行討論才能確定總電動勢，分析棒的運動情況是關鍵．