Question

25②（供選用《選修3-l》物理課教材的學生做）
如圖所示，空間分布著方向平行于紙面且與場區邊界垂直的有界勻強電場，電場強度為E，場區寬度為L．在緊靠電場的右側空間分布著方向垂直于紙面的兩個勻強磁場，磁感應強度均為B，兩磁場的方向相反、分界面與電場邊界平行，且右邊磁場范圍足夠大．一質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從A點由靜止釋放后，在電場和磁場存在的空間進行周期性的運動．已知電場的右邊界到兩磁場分界面間的距離是帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑的

3

2

倍，粒子重力不計．求：
（1）粒子經電場加速后，進入磁場的速度大小；
（2）粒子在磁場中運動的軌道半徑；
（3）粒子從A點出發到第一次返回A點的時間．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場中被加速，根據動能定理，即可求解；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律，即可求解；
（3）根據粒子在磁場受到洛倫茲力作用下，由運動與力的關系，結合幾何特性，從而畫出運動的軌跡．再由周期公式與圓心角，可求出運動的時間．

解答：解：
（1）設粒子經電場加速后的速度為v，
根據動能定理有qEL=

1

2

mv²　　　　
解得：v=

2qEL m

　　　
（2）粒子在中間磁場中完成了如答圖所示的部分圓運動，設半徑為r，
因洛倫磁力提供向心力，所以有qvB=

mv2

r

　　　　
解得：r=

mv

Bq

=

1

B

　

2ELm q

　
（3）設電場的右邊界到兩磁場分界面的距離為d，由題設條件可知d=

3

2

r，
所以粒子在中間磁場中完成了

1

6

圓周運動后，進入右側的磁場，在右側磁場中完成了

5

6

圓周運動后，粒子又回到中間磁場和左側的電場中，最后回到出發點A，完成一個循環過程．（粒子的徑跡如答圖所示）
粒子在電場中往返時間t₁=2

2L a

=2

2mL

qE

粒子在兩個磁場中如果做勻速圓周運動，其周期均為T=

2πr

v

=

2πm

qB

粒子在中間磁場中運動時間t₂=2×

1

6

T=

2πm

3qB

粒子在右側磁場中運動時間t₃=

5

6

T=

5πm

3qB

，
所以粒子從A點出發到第一次返回A點的時間t=t₁+t₂+t₃=2

2mL qE

+

7πm

3qB

答：（1）粒子經電場加速后，進入磁場的速度大小為v=

2qEL m

；
（2）粒子在磁場中運動的軌道半徑=

1

B

2ELm q

；
（3）粒子從A點出發到第一次返回A點的時間2

2mL qE

+

7πm

3qB

．

點評：涉及到動能定理，牛頓第二定律與向心力推導出的半徑與周期公式，并由幾何關系來綜合解題，從而培養學生形成良好的解題思路，提高分析問題的能力．