Question

如圖所示，半徑為L₁=2 m的金屬圓環內上、下兩部分各有垂直圓環平面的有界勻強磁場，磁感應強度大小均為B₁=10/π T，長度也為L₁、電阻為R的金屬桿ab，一端處于圓環中心，另一端恰好搭接在金屬環上，繞著a端做逆時針方向的勻速轉動，角速度為ω=π/10 rad/s。通過導線將金屬桿的a端和金屬環連接到圖示的電路中（連接a端的導線與圓環不接觸，圖中的定值電阻R₁=R，滑片P位于R₂的正中央，R₂=4R），圖中的平行板長度為L₂=2 m，寬度為d=2 m。當金屬桿運動到圖示位置時，在平行板左邊緣中央處剛好有一帶電粒子以初速度v₀=0.5 m/s向右運動，并恰好能從平行板的右邊緣飛出，之后進入到有界勻強磁場中，其磁感應強度大小為B₂=2 T，左邊界為圖中的虛線位置，右側及上下范圍均足夠大。（忽略金屬桿與圓環的接觸電阻、圓環電阻及導線電阻，忽略電容器的充放電時間，忽略帶電粒子在磁場中運動時的電磁輻射等影響，不計平行金屬板兩端的邊緣效應及帶電粒子的重力和空氣阻力。提示：導體棒以某一端點為圓心勻速轉動切割勻強磁場時產生的感應電動勢為E=BL²ω/2）試分析下列問題：
（1）從圖示位置開始金屬桿轉動半周期的時間內，兩極板間的電勢差U_MN；
（2）帶電粒子飛出電場時的速度方向與初速度方向的夾角θ；
（3）帶電粒子在電磁場中運動的總時間t_總。

Answer 1

解：（1）由旋轉切割公式得E=B₁L₁²ω/2=2 V
由電路的連接特點知E=I·4R，U₀=I·2R=E/2=1 V
T₁=2π/ω=20 s
由右手定則知
在0~T₁/2時間內 金屬桿ab中的電流方向為b→a，則φ_a > φ_b
在0~T₁/2時間內 金屬桿ab中的電流方向為a→b，則φ_a < φ_b
則在0~T₁/2時間內φ_M < φ_N
U_MN=- U₀=- 1 V
（2）粒子在平行板電容器內做類平拋運動，在0~T₁/2時間內
水平方向L₂=v₀·t₁
豎直方向，，，
則q/m=0.25 C/kg，v_y=0.5 m/s，
tanθ=v_y/v₀=1
所以θ=45°
（3）粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動
由，得
即，
由幾何關系及粒子在磁場中運動的對稱性可知：粒子恰好在磁場中做了3/4圓周運動，并且粒子剛好能從平行板電容器的另一極板重新飛回到電場中
則磁場中的運動時間為t₂=3T₂/4=3π s
由于t₁ + t₂=4 + 3π≈13.42 s，大于T₁/2且小于T₁，則此時飛回電場時，電場方向與開始時相反，并且此時的速度與飛出電場時的速度等大、與水平方向的夾角大小相同，方向為傾斜左上45°，則運動具有對稱性，t₃=t₁=4 s
綜上帶電粒子在電磁場中總的運動時間為t_總=t₁ + t₂ + t₃=8 + 3π≈17.42 s