Question

1．底邊長a、高度為b的長方體均勻物塊置于斜面上．斜面和物塊之間的靜摩擦因數為μ．斜面的傾角為θ，當θ足夠小時，物塊靜止在斜面上．如圖所示．如果將傾角逐漸增大．當θ取某個臨界值θ₀時，物塊或將開始滑動，或將翻倒．試分別求出發生滑動和翻倒時的θ₀．并說明在什么條件下出現的是滑動，在什么條件下出現的是翻倒．

Answer 1

分析 當物塊剛開始發生滑動時，重力的下滑分力恰好等于最大靜摩擦力，可列出方程，得到θ₀．當物塊剛開始發生翻倒時，其重心恰好位于物塊與斜面下端接觸點的正上方，由幾何關系求解此時θ₁．

解答 解：物塊剛開始發生滑動時，則有：
mgsinθ₀=μmgcosθ₀，
tanθ₀=μ，
即：θ₀=arctanμ
剛開始發生翻倒時，如圖所示，有 θ₁=φ，

tanφ=$\frac{a}{b}$，φ=arctan$\frac{a}{b}$，
即 θ₁≥arctan$\frac{a}{b}$時，發生翻倒．
綜上所述，可知：
當μ＜$\frac{a}{b}$時，θ增大到arctanμ時，物體開始下滑；
當μ＞$\frac{a}{b}$時，θ增大到arctan$\frac{a}{b}$時，物體開始翻倒；
答：當μ＜$\frac{a}{b}$時，θ增大到arctanμ時，物體開始下滑；當μ＞$\frac{a}{b}$時，θ增大到arctan$\frac{a}{b}$時，物體開始翻倒．

點評 解答本題的關鍵是明確滑動和翻倒的臨界條件，運用幾何知識進行求解．當物塊剛要滑動時靜摩擦力達到最大，是常用的臨界條件，是理解掌握并能靈活運用．