Question

22.一個圓柱形的豎直的井里存有一定量的水，井的側(cè)面和底部是密閉的.在井中固定地插著一根兩端開口的薄壁圓管，管和井共軸，管下端未觸及井底.在圓管內(nèi)有一不漏氣的活塞，它可沿圓管上下滑動.開始時，管內(nèi)外水面相齊，且活塞恰好接觸水面，如圖所示.現(xiàn)用卷揚機通過繩子對活塞施加一個向上的力F，使活塞緩慢向上移動.已知管筒半徑r=0.100 m,井的半徑R=2r,水的密度=1.00×10³kg/m³,大氣壓P₀=1.00×10⁵Pa.求活塞上升H=9.00 m的過程中拉力F所做的功.(井和管在水面以上及水面以下的部分都足夠長,不計活塞質(zhì)量,不計摩擦,重力加速度g=10 m/s².)

Answer 1

22.參考解答：

   從開始提升到活塞升至內(nèi)外水面高度差為h₀==10 m的過程中，活塞始終與管內(nèi)液體接觸.(再提升活塞時，活塞和水面之間將出現(xiàn)真空，另行討論.)設(shè)活塞上升距離為h₁，管外液面下降距離為h₂，

     h₀=h₁+h₂                                                                                                                                                                      

     因液體體積不變，有

        h₂=h₁()=h₁                                                      

     得      h₁=h₀＝×10 m＝7.5 m                                            

     題給H=9 m>h₁，由此可知確實有活塞下面是真空的一段過程.

     活塞移動距離從零到h₁的過程中，對于水和活塞這個整體，其機械能的增量應(yīng)等于除重力外其他力所做的功.因為始終無動能，所以機械能的增量也就等于重力勢能增量，即

ΔE＝（r²h₁）g                                                      

     其他力有管內(nèi)、外的大氣壓力和拉力F，因為液體不可壓縮，所以管內(nèi)、外大氣壓力做的總功

p₀（R²－r²）h₂－p₀r²h₁＝0，故外力做功就只是拉力F做的功，

由功能關(guān)系知W₁=ΔE                                     

 即　　　W₁=（r²）gh=r²=1.18×10⁴ J                

  活塞移動距離從h₁到H的過程中，液面不變，F是恒力F＝r²p₀，

做功W₂＝F（H－h₁）＝r²p₀（H－h₁）＝4.71×10³ J                                 

      所求拉力F做的總功為W₁＋W₂＝1.65×10⁴ J