Question

1．如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉的水平轉臺上，轉臺轉軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合．轉臺以一定角速度ω勻速轉動．一質量為m的小物塊落入陶罐內，經過一段時間后，小物塊隨陶罐一起轉動且相對罐壁靜止，它和O點的連線與OO′之間的夾角θ為60°．重力加速度大小為g．
（1）若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求ω₀；
（2）ω=（1±k）ω₀，且0＜k＜＜1，求小物塊受到的摩擦力大小和方向．

Answer 1

分析 （1）若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出角速度的大�。�
（2）當ω＞ω₀，重力和支持力的合力不夠提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向下，根據牛頓第二定律求出摩擦力的大�。�當ω＜ω₀，重力和支持力的合力大于向心力，則摩擦力的方向沿罐壁切線向上，根據牛頓第二定律求出摩擦力的大小．

解答 解：（1）當摩擦力為零，支持力和重力的合力提供向心力，有：
mgtanθ=mRsinθω₀²，解得
${ω}_{0}=\sqrt{\frac{2g}{R}}$
（2）當ω=（1+k）ω₀時，重力和支持力的合力不夠提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向下，
根據牛頓第二定律得，fcos60°+Ncos30°=mRsin60°ω²．
fsin60°+mg=Nsin30°
聯立兩式解得$f=\frac{\sqrt{3}k（2+k）}{2}mg$

當ω=（1-k）ω₀時，摩擦力方向沿罐壁切線向上，
根據牛頓第二定律得，Ncos30°-fcos60°=mRsin60°ω²．
mg=Nsin30°+fsin60°
聯立兩式解得f=$\frac{\sqrt{3}k（2-k）}{2}mg$．
答：（1）小物塊受到的摩擦力恰好為零時，${ω}_{0}=\sqrt{\frac{2g}{R}}$．
（2）當ω=（1+k）ω₀時，摩擦力方向沿罐壁切線向下，大小為$f=\frac{\sqrt{3}k（2+k）}{2}mg$．
當ω=（1-k）ω₀時，摩擦力方向沿罐壁切線向上，大小為$\frac{\sqrt{3}k（2-k）}{2}mg$．

點評 解決本題的關鍵搞清物塊做圓周運動向心力的來源，結合牛頓第二定律，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力進行求解．