Question

8．如圖所示，開有小孔的平行板水平放置，兩極板接在電壓大小可調的電源上，用噴霧器將油滴噴注在小孔上方．已知兩極板間距為d，油滴密度為ρ，電子電量為e，重力加速度為g，油滴視為球體，油滴運動時所受空氣的粘滯阻力大小F_f=6πηrv（r為油滴半徑、η為粘滯系數，且均為已知），油滴所帶電量是電子電量的整數倍，噴出的油滴均相同，不考慮油滴間的相互作用．
（1）當電壓調到U時，可以使帶電的油滴在板間懸浮；當電壓調到$\frac{U}{2}$時，油滴能在板間以速度v勻速豎直下行．求油滴所帶電子的個數n及油滴勻速下行的速度v；
（2）當油滴進入小孔時與另一油滴粘連在一起形成一個大油滴，以速度v₁（已知）豎直向下進入小孔，為防止碰到下極板，需調整電壓，使其減速運行，若將電壓調到2U，大油滴運動到下極板處剛好速度為零，求：大油滴運動到下極板處時的加速度及這一過程粘滯阻力對大油滴所做的功．

Answer 1

分析 （1）當電壓調到U時，油滴在板間懸浮，根據電場力與重力平衡列式；當電壓調到$\frac{U}{2}$時，油滴能在板間以速度v勻速豎直下行，則電場力與阻力之和，跟重力平衡，再結合質量表達式，即可求解；
（2）將電壓調到2U，大油滴勻減速下行，根據牛頓第二定律求加速度，由動能定理，即可求解粘滯阻力對大油滴所做的功．

解答 解：（1）當電壓調到U時，油滴在板間懸浮，根據電場力與重力平衡，則有：
   q$\frac{U}p9vv5xb5$=mg-----①； 
當電壓調到$\frac{U}{2}$時，油滴能在板間以速度v勻速豎直下行，則有
 q$\frac{\frac{U}{2}}p9vv5xb5$+6πηrv=mg-----②； 
且m=$\frac{4}{3}$πρr3-----③
聯立①②③得：n=$\frac{q}{e}$=$\frac{4πρgd{r}^{3}}{3eU}$，及 v=$\frac{gρ{r}^{3}}{9η}$
（2）將電壓調到2U時
（ⅰ）根據牛頓第二定律，則有：2q$\frac{2U}p9vv5xb5$-2mg=2ma----④
聯立①④得：a=g，豎直向上
（ⅱ）根據動能定理，則有：2mgd-2q•2U+W_f=0-$\frac{1}{2}$×2m${v}_{1}^{2}$------⑤
聯立①③⑤得：W_f=$\frac{4}{3}$πρgdr³-$\frac{4}{3}$πρ${v}_{1}^{2}$r³=$\frac{4}{3}$πρr³（2gd-${v}_{1}^{2}$）
答：
（1）油滴所帶電子的個數是$\frac{4πρgd{r}^{3}}{3eU}$，油滴勻速下行的速度是$\frac{gρ{r}^{3}}{9η}$；
（2）大油滴運動到下極板處時的加速度大小g，方向豎直向上，這一過程粘滯阻力對大油滴所做的功是$\frac{4}{3}$πρr³（2gd-${v}_{1}^{2}$）．

點評 解決本題的關鍵要明確油滴的運送狀態，來分析其受力情況，運用平衡條件、牛頓第二定律與動能定理等力學規律研究．要注意力做功的正負，及當心符號的運算正確性．