Question

（2009?煙臺二模）如圖所示，豎直放置的光滑半圓形軌道與光滑水平面AB相切于B點，半圓形軌道的最高點為C．輕彈簧一端固定在豎直擋板上，另一端有一質量為0.1kg的小球（小球與彈簧不相連）．用力將小球向左推，小球將彈簧壓縮一定量時用細繩固定住．此時彈簧的彈性勢能為4.05J．燒斷細繩，彈簧將小球彈出．取g=10m/s²，求
（1）欲使小球能通過最高點C，則半圈形軌道的半徑最大為多少？
（2）欲使小球通過最高點C后落到水平面上的水平距離最大，則半圓形軌道的半徑為多大？落點至B點的最大距離為多少？

Answer 1

分析：（1）小球從彈簧釋放到運動到最高點的過程，可分兩個過程：彈簧釋放過程、小球離開彈簧到運動到最高點的過程．彈簧釋放過程，小球與彈簧組成的系統機械能守恒，即可求出小球獲得的初速度．B到C的過程，小球的機械能守恒．在C點，由重力和軌道的彈力的合力提供向心力，根據機械能守恒和牛頓第二定律結合求解；
（2）小球離開C點后做平拋運動，根據平拋運動的規律和機械能守恒結合得到小球平拋水平距離與軌道半徑的關系，運用數學知識求極值．

解答：解：（1）彈簧釋放過程，由EP=

1

2

m

v

2 1

…得 v₁=

2EP m

=9m/s
B到C的運動過程中，由機械能守恒得

1

2

m

v

2 1

=mg(2r)+

1

2

m

v

2 2

…
在C點有  mg+N=m

v 2 2

r

…
由N≥0
得r≤

81

50

m…
得rm=

81

50

=1.62m…
（2）小球做平拋運動過程，y=

1

2

gt2=2r…x=v₃t
由系統機械能守恒得  EP=mg(2r)+

1

2

m

v

2 3

…
由以上得x=

(8.1-4r)4r

…
根據數學知識得：當（8.1-4r）=4r時，x有極值
即r=

8.1

8

=1.01m時              
得 x_m=4r=4.04m
答：
（1）欲使小球能通過最高點C，則半圈形軌道的半徑最大為1.62m．
（2）欲使小球通過最高點C后落到水平面上的水平距離最大，則半圓形軌道的半徑為1.01m，落點至B點的最大距離為4.04m．

點評：本題是機械能守恒、牛頓第二定律和平拋運動的綜合，要掌握力學基本規律，同時要能運用數學知識求極值．