Question

已知地球半徑R=6400km，地球表面的重力加速度g=10m/s²，不考慮地球自轉的影響．求：
（1）推導第一宇宙速度v₁的表達式，并計算其數值；
（2）若地球自轉周期T=24h，計算地球同步衛星距離地面的高度h；
（3）若已知萬有引力常量G=6.7×10^-11N?m²/kg²，估算地球的平均密度ρ．（以上計算結果保留一位有效數字）

Answer 1

分析：主要應用在地球表面重力和萬有引力相等，衛星運動時萬有引力提供圓周運動的向心力，據此列式求解即可．

解答：解：（1）當衛星在地球表面附近運動行時，受地球的萬有引力提供向心力，即
G

mM

R2

=m

v2

R

得：衛星運行速度v=

GM R

      ①
又因為在不考慮地球的自轉，地球表面的重力和萬有引力相等，故有mg=G

mM

R2

，所以有
GM=gR²       ②
將②代入①可得：
v1=

gR

=

10×6400×103

m/s=8×10³m/s
（2）同步衛星運動地周期與地球自轉周期相同，即T=24h=24×3600s，同步衛星受到地球的萬有引力提供向心力，故有：
G

mM

(R+h)2

=m(R+h)(

2π

T

)2
可得R+h=

3	GMT2 4π2

即：
h=

3	GMT2 4π2

-R              ③
將②代入③得：h=

3	gR2T2 4π2

-R=

3	10×(6400×103)2×(24×3600)2 4×3.142

-6400×10³m≈4×10⁷m
（3）由②式得M=

gR2

G

     ④
由幾何知識知，地球的體積V=

4

3

πR3         ⑤
所以地球的密度ρ=

M

V

=

gR2 G

4 3 πR3

=

3g

4πRG

=

3×10

4×3.14×6400×103×6.7×10-11

kg/m³≈6×10³Kg/m³．
答：（1）第一宇宙速度表達式v1=

GM R

，數值為8×10³m/s；
（2）同步衛星距地面的高度h=4×10⁷m；
（3）地球的平均密度ρ=6×10³Kg/m³．

點評：能正確利用萬有引力和重力向心力的關系，并能抓住表達式中的變量和不變量進行討論和計算．