Question

15．傳送帶與平板緊靠在一起，且上表面在同一水平面內，兩者長度分別為L₁=2.5m、L₂=2m．傳送帶始終保持以速度v勻速運動．現將一滑塊（可視為質點）輕放到傳送帶的左端，然后平穩地滑上平板．已知：滑塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.5，滑塊與平板、平板與支持面的動摩擦因數分別為μ₁=0.3、μ₂=0.1，滑塊、平板的質量均為m=2kg，g取10/s²．求：

（1）若滑塊恰好不從平板上掉下，求v的大��；
（2）若v=6m/s，求滑塊離開平板時的速度大小．

Answer 1

分析 （1）滑塊在平板上勻減速，平板勻加速，根據牛頓第二定律求出滑塊和平板的加速度，恰好不從平板掉下來，最終速度相等，根據速度時間公式和位移時間公式列式即可求解；
（2）先判斷滑塊在傳送帶上是否一直做勻加速運動，滑上平板后，對滑塊和平板車分別運用位移時間關系式求滑塊離開平板的時間，再由速度公式求出滑塊離開平板時的速度；

解答 解：（1）滑塊在平板上做勻減速運動，加速度大�。�
${a}_{1}^{\;}=\frac{{μ}_{1}^{\;}mg}{m}=3m/{s}_{\;}^{2}$
由于${μ}_{1}^{\;}mg＞2{μ}_{2}^{\;}mg$
故平板做勻加速運動，加速度大小：
${a}_{2}^{\;}=\frac{{μ}_{1}^{\;}mg-{μ}_{2}^{\;}×2mg}{m}=1m/{s}_{\;}^{2}$
設滑塊滑至平板右端用時為t，共同速度為v′，平板位移為x，對滑塊：$v′=v-{a}_{1}^{\;}t$
${L}_{2}^{\;}+x=vt-\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{\;}^{2}$
對平板：$v′={a}_{2}^{\;}t$
$x=\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{\;}^{2}$
聯立以上各式代入數據解得：t=1s，v=4m/s
（2）滑塊在傳送帶上的加速度：${a}_{3}^{\;}=\frac{μmg}{m}=5m/{s}_{\;}^{2}$
若滑塊在傳送帶上一直加速，則獲得的速度為
${v}_{1}^{\;}=\sqrt{2{a}_{3}^{\;}{L}_{1}^{\;}}=5m/s＜6m/s$
即滑塊滑上平板的速度為5m/s
設滑塊在平板上運動的時間為t′，離開平板時的速度為v″，平板位移為x′
${L}_{2}^{\;}+x′={v}_{1}^{\;}t′-\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}t{′}_{\;}^{2}$
$x′=\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}t{′}_{\;}^{2}$
聯立以上各式代入數據解得：${t}_{1}^{′}=\frac{1}{2}s$，${t}_{2}^{′}=2s$（${t}_{2}^{′}＞t$，不符合題意，舍去）
將$t′=\frac{1}{2}s$代入$v″={v}_{1}^{\;}-{a}_{1}^{\;}t′$：
v″=3.5m/s
答：（1）若滑塊恰好不從平板上掉下，v的大小為4m/s；
（2）若v=6m/s，滑塊離開平板時的速度大小3.5m/s

點評 解決本題的關鍵是滑塊在傳送帶上加速【需要判斷是否一直加速】，到平板上之后滑塊減速，平板加速．達到共速時沒掉下去，就不會掉下去了．