Question

2．如圖所示，兩個水平固定軸A和B在同一豎直線上，相距為L，光滑細桿AC和BD分別可以繞其固定軸A和B在豎直平面內轉動．現將一質量為m的小環套在兩桿上，使∠BAC=$\frac{π}{2}$，∠ABD=$\frac{π}{6}$．若在此狀態下讓細桿AC和BD分別以相同的勻角速度ω繞軸A和軸B在豎直平面內沿逆時針方向轉動，當小環運動到B點處（未與B接觸）．求：
（1）小環的速度大小；
（2）二細桿對小環的作用力的合力大小．

Answer 1

分析 AC與BD均以角速度ω同方向轉動，故∠BEA在運動中保持不變，而AB為定值，故動點E在ABC的外接圓上運動，根據圓周運動的公式即可求得

解答 解：（1）設AC與BD交點為E，因為AC與BD均以角速度ω同方向轉動，故∠BEA在運動中保持不變，而AB為定值，故動點E在ABC的外接圓上運動，初始時∠BEA=$\frac{π}{2}$，即BE為外接圓的直徑，半徑R=$\frac{L}{\sqrt{3}}$，在時間t內AE轉過了ωt角度，此段弧長對應圓心角為2ωt，說明動點在圓周上做勻速率運動，角速度為2ω，v=2ωR=$\frac{2Lω}{\sqrt{3}}$，
（2）產生的向心加速度為a=（2ω）²R=$\frac{4L{ω}^{2}}{\sqrt{3}}$，向心力F=ma，G=mg，接近B點時桿對環的作用力為F和G的合力，T²=F²+G²-2FGcos$\frac{π}{6}$，
解得T=m$\sqrt{\frac{16{L}^{2}{ω}^{4}}{3}+{g}^{2}-4gL{ω}^{2}}$，
答：（1）小環的速度大小為=$\frac{2Lω}{\sqrt{3}}$；
（2）二細桿對小環的作用力的合力大小為m$\sqrt{\frac{16{L}^{2}{ω}^{4}}{3}+{g}^{2}-4gL{ω}^{2}}$

點評 本題主要考查了圓周運動，關鍵是找出角速度的關系，利用好圓周運動的公式即可判斷